Estimació d’un interval de confiança per al percentatge de vots al partit X

En un país es selecciona aleatòriament una mostra de $900$ persones. A la sortida dels col·legis electorals se’ls va preguntar si havien votat al partit X, i $289$ van respondre que sí, mentre que la resta van dir que no. Es demana determinar un interval de confiança del $95\%$ per al percentatge de vots al partit X, explicant els passos seguits per obtenir-lo.

Tenim les següents dades:

• Mida de la mostra: $n = 900$

• Nombre de persones que van votar al partit X: $x = 289$

• Proporció mostral: $$ \hat{p} = \frac{289}{900} \approx 0{,}3211 $$

1. Fórmula de l’interval de confiança per a una proporció: Per calcular un interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança del 95%, utilitzem la fórmula següent:$$\hat{p} \pm z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}$$On:

• $\hat{p}$ és la proporció mostral.

• $z$ és el valor crític de la normal estàndard per al 95%: $z = 1{,}96$

• $n$ és la mida de la mostra.

2. Càlcul de l’error estàndard (EE): $$EE = \sqrt{\frac{0{,}3211 \cdot (1 – 0{,}3211)}{900}} = \sqrt{\frac{0{,}2182}{900}} \approx \sqrt{0{,}0002424} \approx 0{,}0156$$

3. Càlcul de l’interval: $$\text{Límit inferior} = 0{,}3211 – 1{,}96 \cdot 0{,}0156 \approx 0{,}2905$$ $$\text{Límit superior} = 0{,}3211 + 1{,}96 \cdot 0{,}0156 \approx 0{,}3517$$

Resultat final: L’interval de confiança del 95% per al percentatge de vots al partit X és:$$(0{,}2905,\ 0{,}3517) \text{ o en tant per cent:} (29{,}05\%,\ 35{,}17\%)$$

✅ Interpretació final: Amb un nivell de confiança del 95%, podem afirmar que el percentatge de persones que van votar al partit X en el conjunt de la població es troba entre el 29,05% i el 35,17%.