Problema 3: Discussió d’un Sistema d’Equacions en Funció d’un Paràmetre

Donat el sistema:

$$\begin{cases}
x + y + z = 2 \\
2x + ky – z = 1 \\
3x + y + (k+1)z = k
\end{cases}$$

a) Escriu el sistema en forma matricial $AX = B$.

El sistema es pot expressar com:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & k & -1 \\
3 & 1 & k+1
\end{pmatrix}, \quad
X = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
k
\end{pmatrix}$$

b) Calcula el determinant de la matriu $A$ en funció de $k$.

Per calcular el determinant de la matriu $A$, utilitzarem la regla de determinants per a una matriu de $3 \times 3$:

$$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}
k+1 & -1 \\
1 & k+1
\end{vmatrix}1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -1 \\
3 & k+1
\end{vmatrix}1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & k \\
3 & 1
\end{vmatrix}$$

Calculant cada menor:

$$\begin{vmatrix}
k+1 & -1 \\
1 & k+1
\end{vmatrix} = (k+1)(k+1) – (-1)(1) = (k+1)^2 + 1 = k^2 + 2k + 2$$

$$\begin{vmatrix}
2 & -1 \\
3 & k+1
\end{vmatrix} = 2(k+1) – (-1)(3) = 2k + 2 + 3 = 2k + 5$$

$$\begin{vmatrix}
2 & k \\
3 & 1
\end{vmatrix} = 2(1) – k(3) = 2 – 3k$$

Per tant, el determinant és:

$$\det(A) = 1 \cdot (k^2 + 2k + 2) – 1 \cdot (2k + 5) + 1 \cdot (2 – 3k)$$

Desglossant:

$$\det(A) = k^2 + 2k + 2 – 2k – 5 + 2 – 3k$$

Simplificant:

$$\det(A) = k^2 – 3k – 1$$

c) Discuteix els valors de $k$ per als quals el sistema té solució única, infinites solucions o cap solució.

El sistema té una solució única quan $\det(A) \neq 0$, infinites solucions quan $\det(A) = 0$ i el rang de la matriu $A$ coincideix amb el rang de la matriu ampliada, i cap solució quan $\det(A) = 0$ i el rang de la matriu $A$ és inferior al rang de la matriu ampliada.

Per trobar els valors de $k$ per als quals el determinant és zero, resolem:

$$k^2 – 3k – 1 = 0$$

Utilitzant la fórmula quadràtica per resoldre aquesta equació:

$$k = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$$

Per tant, les solucions per a $k$ són:

$$k = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \quad \text{o} \quad k = \frac{3 – \sqrt{13}}{2}$$

Aquests són els valors crítics de $k$ que determinen quan el determinant és zero. Per aquests valors, haurem de verificar el rang de la matriu per determinar si el sistema té solució única, infinites solucions o cap solució.