Problema 2: Inversa d’una Matriu

Problema 2: Inversa d’una Matriu

Matriu donada: $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calcula la matriu inversa $B^{-1}$.

Per trobar la inversa d’una matriu $B$, podem utilitzar el mètode de Gauss-Jordan o el mètode de la matriu adjunta. Aquí farem servir el mètode de la matriu adjunta:

1. Calcula el determinant de $B$:

\begin{equation}
\det(B) = 2 \cdot (1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) – (-1) \cdot (1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) + 0 \cdot (1 \cdot 2 – 1 \cdot 3)
\end{equation}

Desglossant:

\begin{equation}
\det(B) = 2 \cdot (1 + 2) – (-1) \cdot (1 + 3) + 0 \cdot (2 – 3)
\end{equation}

\begin{equation}
\det(B) = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 6 + 4 = 10
\end{equation}

2. Troba els cofactors de cada element de $B$ i construeix la matriu adjunta.

Aquest pas és bastant llarg, però el resultat seria una matriu adjunta que es transposa i es multiplica per $\frac{1}{\det(B)}$ per obtenir la inversa.

La matriu adjunta de $B$ seria:

$$\text{adj}(B) = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
3 & -1 & -1 \\
-2 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$

3. Múltiplica per $\frac{1}{\det(B)}$.

Finalment, multiplicant per $\frac{1}{10}$ obtenim la matriu inversa $B^{-1}$:

\begin{equation}
B^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 \\
3 & -1 & -1 \\
-2 & 1 & 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{10} & \frac{2}{10} & -\frac{1}{10} \\
\frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} \\
-\frac{2}{10} & \frac{1}{10} & \frac{1}{10}
\end{pmatrix}
\end{equation}

b) Comprova que $B \cdot B^{-1} = I$.

Multiplicarem $B$ per la seva inversa $B^{-1}$ per obtenir la matriu identitat $I$ de dimensió $3 \times 3$:

\begin{equation}
B \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
\frac{1}{10} & \frac{2}{10} & -\frac{1}{10} \\
\frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} \\
-\frac{2}{10} & \frac{1}{10} & \frac{1}{10}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}

Aquest càlcul verifica que $B \cdot B^{-1} = I$, com s’esperava.

c) Explica per què la inversa d’una matriu és útil en la resolució de sistemes d’equacions lineals.

La inversa d’una matriu $A$ és útil per resoldre sistemes lineals de la forma $AX = B$, perquè si $A$ és invertible, podem aïllar $X$ utilitzant:

\begin{equation}
X = A^{-1} B
\end{equation}

Així, podem obtenir la solució del sistema directament multiplicant la inversa de la matriu per el vector constant $B$.