Problema 1: Determinants i Rang de la Matriu

Problema 1: Determinants i Rang de la Matriu. Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$: a) Calcula el determinant de la matriu $A$. b) Troba el rang de la matriu $A$ utilitzant mètodes d’escalonament o altres que consideris convenients. c) Discuteix si la matriu és invertible i justifica la teva resposta basant-te en el determinant i el rang.

Problema 1: Determinants i Rang de la Matriu

Matriu donada: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$.

a) Calcula el determinant de la matriu $A$.

El determinant d’una matriu $3 \times 3$, $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$, és:

$$\det(A) = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)$$

Substituint els valors de la matriu $A$:

$$\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 5 – 3 \cdot 4) – 2 \cdot (0 \cdot 5 – 3 \cdot 2) + (-1) \cdot (0 \cdot 4 – 1 \cdot 2)$$

Calculem cada terme:

1. $1 \cdot (5 – 12) = 1 \cdot (-7) = -7$
2. $-2 \cdot (-6) = 12$
3. $-1 \cdot (-2) = 2$

Per tant, el determinant és:

$$\det(A) = -7 + 12 + 2 = 7$$

b) Troba el rang de la matriu $A$.

Com que $\det(A) \neq 0$, sabem que $A$ té rang $3$, ja que té una matriu completa de dimensió $3 \times 3$ amb determinant no nul.

c) Discuteix si la matriu és invertible.

Una matriu és invertible si el seu determinant és diferent de zero i si té rang complet (en aquest cas, rang $3$). Com que $\det(A) = 7 \neq 0$, podem concloure que $A$ és invertible.