Demostració Teorema d’Steiner

1. Definició del moment d’inèrcia. El moment d’inèrcia \( I \) d’un cos respecte a un eix es defineix com: \[I = \sum m_i r_i^2\]on \( m_i \) és la massa d’un element diferencial del cos i \( r_i \) és la seva distància a l’eix de rotació.

2. Consideració del sistema de referència. Sigui un cos de massa total \( m \) i sigui \( I_c \) el seu moment d’inèrcia respecte a un eix que passa pel seu centre de massa. Considerem ara un nou eix paral·lel situat a una distància \( d \) d’aquest eix central.Definim:

– \( r’ \) com la distància de cada element de massa \( m_i \) al nou eix.

– \( r_c \) com la distància de cada element al centre de massa.

– \( d \) com la distància entre els dos eixos. Per propietats geomètriques tenim que: \[r_i’ = r_{c_i} + d\]

3. Desenvolupament de la fórmula. El moment d’inèrcia respecte al nou eix és:\[I = \sum m_i r_i’^2\]Substituïm \( r_i’ = r_{c_i} + d \):\[I = \sum m_i (r_{c_i} + d)^2\]Expressem el quadrat:\[I = \sum m_i (r_{c_i}^2 + 2r_{c_i} d + d^2)\]Distribuïm la suma:\[I = \sum m_i r_{c_i}^2 + 2d \sum m_i r_{c_i} + \sum m_i d^2\]

4. Propietats de la suma:

– El primer terme és el moment d’inèrcia respecte al centre de massa: \[ I_c = \sum m_i r_{c_i}^2 \]

– El segon terme és zero perquè el centre de massa està definit de manera que la suma ponderada de les seves coordenades respecte a ell mateix sigui zero: \[ \sum m_i r_{c_i} = 0 \]

– El tercer terme es pot treure de la suma perquè \( d^2 \) és constant: \[ \sum m_i d^2 = d^2 \sum m_i = m d^2 \]

Conclusió Així, la fórmula es redueix a:\[I = I_c + m d^2\]Això demostra el Teorema de Steiner o Teorema dels eixos paral·lels.