Problema 2. Examen convocatòria extraordinària 2024. Selectivitat Catalunya

Considereu el sistema d’equacions següent, on \( m \) és un paràmetre real: \[ \begin{cases} x – 3y + mz = -2 \\ x + my + 2z = 3 \\ x + y + 2z = m \\ \end{cases} \] a) Discutil el sistema segons el valor del paràmetre \( m \). b) Trobeu la solució del sistema per a $m = 0$. c) Per a $m = 2$, doneu una solució $(x, y, z)$ del sistema que, a més a més, compleixi $x = 5y$.

a) El determinant de la matriu de coeficients del sistema és
$$\left|
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & m \\
1 & m & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|
= 2m + m – 6 – m^2 – 2 + 6 = -m^2 + 3m – 2,$$
que és 0 quan
$$m = \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 4(-1)(-2)}}{-2} = 1,\,2.$$
Si $m$ no és ni $1$ ni $2$, el rang de la matriu de coeficients és $3$, per tant el de l’ampliada també, i es tracta d’un sistema compatible determinat.

En el cas $m = 1$, el rang de la matriu de coeficients és $2$ (ja que, per exemple, el menor superior esquerra és no nul) i el de l’ampliada és $3$,
$$\left|
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & -2 \\
1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right|
= 1 – 2 – 9 + 2 – 3 + 3 = -8 \neq 0.$$
Per tant, es tracta d’un sistema incompatible. (Alternativament, observem que les dues darreres equacions són contradictòries en aquest cas: $x + y + 2z = 3$ i $x + y + 2z = 1$.)

En el cas $m = 2$, el rang de la matriu de coeficients és $2$ i el de l’ampliada també és $2$,
$$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -3 & 2 & -2 \\
1 & 2 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -3 & 2 & -2 \\
0 & 5 & 0 & 5 \\
0 & 4 & 0 & 4 \\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -3 & 2 & -2 \\
0 & 5 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)$$
per tant, es tracta d’un sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

b) Si $m = 0$, és un sistema compatible determinat i té per solució:
$x =
\frac{
\left|
\begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 0 \\
3 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|
}{
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|}\frac{0 + 0 + 0 – 0 + 4 + 18}{0 + 0 -6 -0 -2 + 6} = \frac{22}{-2}= -11,$
$y =
\frac{
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right|
}{
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|}\frac{6 + 0 – 4 – 0 – 0 + 4}{-2} = \frac{6}{-2}= -3,$

$z =
\frac{
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & -2 \\
1 & 0 & 3 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right|
}{
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right|}\frac{0 – 2 – 9 – 0 – 3 – 0}{-2} = \frac{-14}{-2}= 7.$