Anàlisi i Resolució d’un Sistema d’Equacions Lineals amb Paràmetre

Considereu el sistema d’equacions lineals següent: $$\begin{cases}ax + y = a \\ x + ay + z = 5 \\ x + 2y + z = 5\end{cases}$$ a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $a$. b) Resoleu el sistema per al cas $a = 2$.

a) La matriu de coeficients i l’ampliada, $A$ i $A’$, són les següents:

$$\begin{pmatrix}
a & 1 & 0 \\
1 & a & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
5 \\
5
\end{pmatrix}$$

Mirem quan $\det(A) = 0$ per tal que el rang no sigui màxim:

$$\det(A) = \begin{vmatrix}
a & 1 & 0 \\
1 & a & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix} = a^2 – 2a = a(a – 2)$$

Que s’anul·la per $a = 0$ i $a = 2$.

Així doncs, tenim els següents tres casos:

• Si $a \neq 0$ i $a \neq 2 \implies \det(A) \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A’) \implies \text{SCD (Sistema Compatible Determinat).}$
• Si $a = 0$:

$$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 \\
5 \\
5
\end{pmatrix}$$

En primer lloc, volem calcular el $\text{rang}(A)$. Com que $\det(A) = 0$ i el menor

$$\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{vmatrix} \neq 0,$$

aleshores $\text{rang}(A) = 2$.

Ara volem calcular el $\text{rang}(A’)$. Com que la 1a i la 3a columna són iguals, tots els menors que les continguin seran nuls. Ens queda calcular el determinant amb les altres tres columnes:

$$\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 5 \\
1 & 2 & 5
\end{vmatrix} = 0$$

Per tant, $\text{rang}(A’) = 2$.

Aleshores, tenim que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A’) = 2 < 3 = \text{nº d’equacions}$. Per tant, és un SCI (Sistema Compatible Indeterminat) amb $1$ ($3-2$) grau de llibertat.

• Si $a = 2$:

$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
5
\end{pmatrix}$$

En aquest cas, veiem que la segona i la tercera fila, tant de la matriu $A$ com de la matriu ampliada $A’$, són iguals entre elles i diferents a la primera, per tant tenim que $\text{rang}(A) = \text{rang}(A’) = 2 < 3 = \text{nº d’equacions}$. Per tant, és un SCI amb $1$ ($3-2$) grau de llibertat.

b) S’ha de resoldre el sistema:

$$\begin{cases}
2x + y = 2 \\
x + 2y + z = 5 \\
x + 2y + z = 5
\end{cases}$$

Com que la segona i la tercera equació són la mateixa, aleshores la podem eliminar i hem de resoldre el sistema:

$$\begin{cases}
2x + y = 2 \\
x + 2y + z = 5
\end{cases}$$

Aquest serà un sistema compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

Escollint $x = \lambda$ com a paràmetre lliure, obtenim que la solució, després de substituir i aïllar a la primera equació i anàlogament a la segona, és: $(\lambda, -2\lambda + 2, 3\lambda + 1)$.