Anàlisi i Resolució d’un Sistema d’Equacions Lineals amb Paràmetre

Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $k$: $$\begin{cases}5x + y + 4z = 19 \\kx + 2y + 8z = 28 \\5x + y – kz = 23 + k\end{cases}$$ a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $k$. b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas $k = 0$.

a) Escrivim el sistema en forma matricial:

$$\begin{pmatrix}
5 & 1 & 4 \\
k & 2 & 8 \\
5 & 1 & -k
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
19 \\
28 \\
23 + k
\end{pmatrix}$$

Denotem per $A$ i $A^*$ la matriu dels coeficients i l’ampliada, respectivament.
El determinant de la matriu $A$ del sistema és:

$$\det A = \begin{vmatrix}
5 & 1 & 4 \\
k & 2 & 8 \\
5 & 1 & -k
\end{vmatrix} = k^2 – 6k – 40$$

Si igualem el determinant a $0$ obtenim:

$$k^2 – 6k – 40 = 0 \implies k = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2} = \frac{6 \pm 14}{2} \implies k = 10; \, k = -4$$

Aleshores, podem considerar els següents tres casos:

• Si $k \neq 10, -4 \implies \text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 \implies \text{Sistema compatible determinat.}$
• Si $k = 10$, el sistema en forma matricial és:

$$\begin{pmatrix}
5 & 1 & 4 \\
10 & 2 & 8 \\
5 & 1 & -10
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
19 \\
28 \\
33
\end{pmatrix}
\implies
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -14
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
19 \\
10 \\
14
\end{pmatrix}$$

$$\text{rang}(A) = 2; \, \text{rang}(A^*) = 3 \implies \text{Sistema incompatible.}$$

Observació: El rang es pot justificar amb menors no nuls o bé directament es pot concloure la incompatibilitat a partir de la segona equació.

• Si $k = -4$, el sistema en forma matricial és:

$$\begin{pmatrix}
5 & 1 & 4 \\
-4 & 2 & 8 \\
5 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
19 \\
28 \\
19
\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}
5 & 1 & 4 \\
0 & 7 & 28 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
19 \\
108 \\
0
\end{pmatrix}$$

$\text{rang}(A) = 2 = \text{rang}(A^*) < \text{núm. incògnites} = 3 \implies$ Sistema compatible indeterminat amb $1$ ($=3-2$) grau de llibertat (les solucions depenen d’un paràmetre lliure).

b) Per a $k = 0$, estem en el primer cas i sabem que es tracta d’un sistema compatible determinat, amb solució única. El sistema queda:

$$\begin{cases}
5x + y + 4z = 19 \\
2y + 8z = 28 \\
5x + y = 23
\end{cases}$$

Resolent el sistema per Gauss o per Cramer, obtenim la solució:

$$\begin{cases}
x = 1 \\
y = 18 \\
z = -1
\end{cases}$$