Càlcul de probabilitats de reaccions negatives a antibiòtics amb distribució de Poisson

Si la probabilitat que una persona sofreixi una reacció negativa en ingerir un determinat antibiòtic és de $0.001$, calcula la probabilitat que, d’un total de $3000$ pacients, sofreixin una reacció negativa: a) Exactament tres persones sofreixin una reacció negativa. b) Més de dues persones presentin una reacció negativa.

1. Si apliquem la distribució de Poisson tenim: \[ P(X \text{ persones sofreixen reacció negativa}) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \]

Amb \(\lambda = np = 3000(0.001) = 3\), \(x = 3\):

Llavors:

a) Exactament tres persones sofreixin reacció negativa. \[ P(\text{tres persones sofreixen reacció negativa}) = \frac{3^3 e^{-3}}{3!} = \frac{27}{3(2)(1)e^3} = \frac{27}{6(20,083)} = 0,2240 \]

b) Més de dues persones presenten reacció negativa. \[ P(\text{més de dues persones sofreixen reacció negativa}) \] \[ P(\text{cap persona sofreix reacció negativa}) = \frac{2^0 e^{-3}}{0!} = \frac{1}{e^3} \] \[ P(\text{una persona sofreix reacció negativa}) = \frac{2^1 e^{-3}}{1!} = \frac{2}{e^3} \] \[ P(\text{dos persones sofreixen reacció negativa}) = \frac{2^2 e^{-3}}{2!} = \frac{4}{2(1)e^3} = \frac{2}{e^3} \] \[ P(\text{més de 2 persones sofreixen reacció}) = 1 – (0 \text{ o } 1 \text{ o } 2 \text{ sofreixen reacció}) \] \[ = 1 – \left( \frac{1}{e^3} + \frac{2}{e^3} + \frac{2}{e^3} \right) = 1 – \frac{5}{e^3} = 1 – \frac{5}{20,08} = 0,751 \]