Probabilitat de Destinació de Taronges Nadal a Suc

La varietat de taronges Nadal se sol dedicar a taronges de taula per la seva mida i aspecte. Però aquelles que no compleixen amb els estàndards de qualitat exigits, són utilitzades per fer suc. En una finca, de cada tres taronges de la varietat Nadal recollides es destina a fer suc una. Si se selecciona un carregament de $90$ taronges d’aquesta finca, calcula la probabilitat que entre elles hi hagi com a mínim $30$ que es destinen a fer suc.

És una binomial \( B\left(90;\ \frac{1}{3}\right) \)La llei de probabilitat és: \[p_k = P(X = k) = \binom{90}{k} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^k \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{90-k}, \text{essent } 0, 1, 2, \ldots, 90\]La probabilitat que ens demanen és \( P(X \geq 30) \), que és molt laboriosa de calcular. Es pot fer aplicant una aproximació de la binomial per la normal i la correcció per continuïtat de Yates: “Si una variable aleatòria \( X \) segueix una binomial \( B(n,\ p) \) que compleix:

• $n \geq 30$

• $n \cdot p \geq 5$

• $n \cdot (1-p) \geq 5$,

llavors, la variable aleatòria \( X \) es pot substituir per una altra variable aleatòria \( X’ \): \( N(\mu,\ \sigma) \), essent \( \mu = n \cdot p \) i \( \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \)” En el nostre problema: \( n = 90 \geq 30;\ n \cdot p = 90 \cdot \frac{1}{3} = 30 \geq 5 \ y\ n \cdot (1-p) = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60 \geq 5 \), per tant, \[X’: N(\mu,\ \sigma) = N\left(n \cdot p,\ \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\right) = N\left(90 \cdot \frac{1}{3},\ \sqrt{90 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}\right) = N(30,\ \sqrt{20})\]Per calcular \( P(X \geq 30) \), prenem un interval de la recta que conté els nombres enters majors o iguals que 30, per exemple, \([29.5,\ +\infty)\)\[P(X \geq 30) = P(X’ \geq 29.5) = P\left(z \geq \frac{29.5 – 30}{\sqrt{20}}\right) = P(z \geq -0.11) = P(z \leq 0.11) = 0.5438\]