Processos Quasi-estàtics, Isotèrmics i Adiabàtics

Processos Quasi-estàtics, Isotèrmics i Adiabàtics

En termodinàmica, els processos quasi-estàtics, isotèrmics i adiabàtics són eines fonamentals per analitzar com un sistema evoluciona entre estats d’equilibri. A continuació, analitzarem cada un d’aquests processos amb les seves definicions, condicions, implicacions físiques i el desenvolupament matemàtic corresponent.

---

1. Processos Quasi-estàtics

Definició i concepte físic
Un procés quasi-estàtic és un procés termodinàmic que ocorre de manera infinitament lenta, de manera que el sistema passa per una sèrie d’estats d’equilibri successius. Això significa que en cada punt del procés, el sistema es troba en equilibri tèrmic i mecànic amb el seu entorn. És un concepte idealitzat, ja que els processos reals no són mai perfectament quasi-estàtics, però és molt útil per simplificar càlculs i entendre les lleis de la termodinàmica.

Condicions

• El sistema ha de romandre en equilibri en tot moment.
• Les variables d’estat (pressió $P$, volum $V$, temperatura $T$) canvien de manera contínua i infinitesimal.

Fonament matemàtic
En un procés quasi-estàtic, podem utilitzar les equacions d’estat i les diferencials exactes per descriure els canvis. Per exemple, considerem la primera llei de la termodinàmica:

$$dU = \delta Q – \delta W$$

On:

• $dU$: Canvi d’energia interna (diferencial exacta).
• $\delta Q$: Calor intercanviada (no exacta, depèn del camí).
• $\delta W$: Treball realitzat (no exacta, depèn del camí).

En un procés quasi-estàtic, el treball realitzat per un gas ideal es pot expressar com:

$$\delta W = P dV$$

Això és vàlid perquè la pressió $P$ està ben definida en cada estat d’equilibri. Si el procés no fos quasi-estàtic, la pressió no seria uniforme dins del sistema, i l’expressió $\delta W = P dV$ no seria aplicable.

Exemple pràctic
Imagina un gas ideal dins d’un pistó. Si comprimim el gas molt ràpidament (procés no quasi-estàtic), la pressió i la temperatura varien de manera no uniforme dins del sistema. En canvi, si el comprimim lentament, el gas té temps d’equilibrar-se, i podem calcular el treball com:

$$W = \int_{V_1}^{V_2} P dV$$

On $P$ és una funció de $V$ que depèn del tipus de procés (isotèrmic, adiabàtic, etc.).

---

2. Processos Isotèrmics

Definició i concepte físic
Un procés isotèrmic és un procés termodinàmic en què la temperatura del sistema es manté constant ($T = \text{constant}$). Això implica que el sistema ha d’intercanviar calor amb l’entorn per contrarestar els canvis d’energia interna causats pel treball. Normalment, es considera que el sistema està en contacte amb un bany tèrmic (o reservori tèrmic) a temperatura constant.

Condicions

• $T = \text{constant}$.
• Sovint es considera un procés quasi-estàtic per simplificar els càlculs, especialment si és reversible.

Fonament matemàtic
Considerem un gas ideal, per al qual l’equació d’estat és:

$$PV = nRT$$

Com $T$ és constant en un procés isotèrmic, tenim que $nRT$ és constant, i per tant:

$$PV = \text{constant}$$

Treball realitzat
El treball realitzat en un procés quasi-estàtic es calcula com:

$$W = \int_{V_1}^{V_2} P dV$$

Substituint $P = \frac{nRT}{V}$ (ja que $T$ és constant):

$$W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} dV = nRT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

Energia interna
Per a un gas ideal, l’energia interna $U$ només depèn de la temperatura:

$$U = \frac{f}{2} nRT$$

On $f$ és el nombre de graus de llibertat del gas (per exemple, $f = 3$ per a un gas monoatòmic). Com $T$ és constant, $\Delta U = 0$.

Calor intercanviat
Aplicant la primera llei de la termodinàmica ($\Delta U = Q – W$):

$$\Delta U = 0 \implies Q = W$$

Per tant:

$$Q = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

Si $V_2 > V_1$ (expansió), $W > 0$ i $Q > 0$ (el sistema absorbeix calor). Si $V_2 < V_1$ (compressió), $W < 0$ i $Q < 0$ (el sistema cedeix calor).

Entropia
L’entropia $S$ canvia a causa de la transferència de calor. En un procés reversible:

$$\Delta S = \int \frac{\delta Q}{T}$$

Com $\delta Q = \delta W = P dV = \frac{nRT}{V} dV$ i $T$ és constant:

$$\Delta S = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\frac{nRT}{V} dV}{T} = nR \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = nR \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

Exemple numèric
Suposem un mol de gas ideal ($n = 1$) a $T = 300 \, \text{K}$, amb $R = 8.314 \, \text{J/mol·K}$. Si el volum canvia de $V_1 = 0.01 \, \text{m}^3$ a $V_2 = 0.02 \, \text{m}^3$:

$$W = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 1 \cdot 8.314 \cdot 300 \cdot \ln\left(\frac{0.02}{0.01}\right) = 2494.2 \cdot \ln(2) \approx 1728.8 \, \text{J}$$

El calor absorbit és $Q = W \approx 1728.8 \, \text{J}$, i el canvi d’entropia és:

$$\Delta S = nR \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 1 \cdot 8.314 \cdot \ln(2) \approx 5.76 \, \text{J/K}$$

---

3. Processos Adiabàtics

Definició i concepte físic
Un procés adiabàtic és un procés termodinàmic en què no hi ha intercanvi de calor entre el sistema i l’entorn ($Q = 0$). Això pot ocórrer si el sistema està aïllat tèrmicament o si el procés és tan ràpid que no hi ha temps per transferir calor.

Condicions

• $\delta Q = 0$.
• Sovint es considera quasi-estàtic per obtenir equacions manejables (procés adiabàtic reversible).

Fonament matemàtic
Aplicant la primera llei de la termodinàmica:

$$dU = \delta Q – \delta W \implies dU = -\delta W \quad (\text{ja que } \delta Q = 0)$$

Per a un gas ideal, $dU = nC_v dT$, on $C_v$ és la capacitat calorífica molar a volum constant. El treball és $\delta W = P dV$, així que:

$$nC_v dT = -P dV$$

Utilitzem l’equació d’estat $P = \frac{nRT}{V}$:

$$nC_v dT = -\frac{nRT}{V} dV$$

Simplificant:

$$C_v \frac{dT}{T} = -R \frac{dV}{V}$$

Integrant:

$$C_v \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = -R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

$$\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = – \frac{R}{C_v} \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

Sabem que $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$, i per a un gas ideal $C_p – C_v = R$, així que $\frac{R}{C_v} = \gamma – 1$. Aleshores:

$$\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = -(\gamma – 1) \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

$$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{-(\gamma – 1)}$$

$$T V^{\gamma – 1} = \text{constant}$$

Substituint $T = \frac{PV}{nR}$, obtenim:

$$PV^\gamma = \text{constant}$$

Aquesta és l’equació característica d’un procés adiabàtic reversible.

Treball realitzat
El treball es pot calcular utilitzant $PV^\gamma = K$:

$$W = \int_{V_1}^{V_2} P dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{K}{V^\gamma} dV = K \left[ \frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{K}{1-\gamma} (V_2^{1-\gamma} – V_1^{1-\gamma})$$

Com $K = P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$, podem reescriure:

$$W = \frac{P_2 V_2 – P_1 V_1}{1-\gamma}$$

Entropia
En un procés adiabàtic reversible, $\Delta S = 0$, ja que no hi ha transferència de calor ($\delta Q = 0$).

Exemple numèric
Considerem un mol de gas ideal monoatòmic ($\gamma = \frac{5}{3}$) a $P_1 = 100 \, \text{kPa}$, $V_1 = 0.01 \, \text{m}^3$. Si s’expandeix adiabaticament fins a $V_2 = 0.02 \, \text{m}^3$:

$$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \implies P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = 100 \cdot \left(\frac{0.01}{0.02}\right)^{\frac{5}{3}} = 100 \cdot (0.5)^{\frac{5}{3}} \approx 31.25 \, \text{kPa}$$

El treball és:

$$W = \frac{P_2 V_2 – P_1 V_1}{1-\gamma} = \frac{(31.25 \cdot 0.02) – (100 \cdot 0.01)}{1-\frac{5}{3}} = \frac{(31.25 \cdot 0.02) – (100 \cdot 0.01)}{-\frac{2}{3}} \approx 562.5 \, \text{J}$$

---

Comparació i Relació amb Processos Quasi-estàtics

• Els processos isotèrmics i adiabàtics poden ser quasi-estàtics si es realitzen lentament i el sistema passa per estats d’equilibri.
• En un procés isotèrmic, $T$ és constant, i el sistema intercanvia calor per mantenir-ho.
• En un procés adiabàtic, no hi ha intercanvi de calor, i la temperatura canvia segons $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$.