Valors que fan invertible un a matriu

Trobeu els valors de (\lambda) per als quals és invertible la matriu $$\begin{pmatrix}1 & \lambda & -1 \\ 2 & -\lambda & \lambda \\ 1 & 10 & -6\end{pmatrix}$$

Sabem que una matriu d’ordre 3 és invertible si, i només si, el seu rang és 3. Aleshores, hem de trobar els valors de (\lambda) per als quals el rang d’aquesta matriu és 3.

Triangulem la matriu tenint que

$$\begin{pmatrix}
1 & \lambda & -1 \\
2 & -\lambda & \lambda \\
1 & 10 & -6
\end{pmatrix} \stackrel{F_2 \leftrightarrow F_2 – 2F_1}{\sim} \begin{pmatrix}
1 & \lambda & -1 \\
0 & -2\lambda – 1 & \lambda + 2 \\
0 & -\lambda + 10 & -5
\end{pmatrix} \stackrel{F_3 \leftrightarrow F_3 – F_1}{\sim}$$

$$\begin{pmatrix}
1 & \lambda & -1 \\
0 & -2\lambda – 1 & \lambda + 2 \\
0 & 21 & -\lambda – 12
\end{pmatrix} \stackrel{F_3 \leftrightarrow F_3 – 21F_3}{\sim} \begin{pmatrix}
1 & \lambda & -1 \\
0 & -2\lambda – 1 & \lambda + 2 \\
0 & 0 & -2\lambda^2 – 4\lambda + 30
\end{pmatrix}.$$

Tenint en compte que $-2\lambda^2 – 4\lambda + 30 = 0$, si, i només si,

$$\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{-4} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{-4} = \frac{4 \pm 16}{-4} = \begin{cases} -5 \ 3 \end{cases}.$$

Resulta que el rang de la matriu és $3$, per tant, és invertible si, i només si, $\lambda \neq -5, 3$.