Guanys o pèrdues d’una empresa càrnica

Les pèrdues o guanys d’una empresa del sector càrnic s’ajusten a la funció $y = \frac{2x – 4}{x + 2}$, on $x$ són els anys de vida de l’empresa ($x \geq 0$) i $y$ les pèrdues o guanys en centenars de milers d’euros.

a) Té sentit tenir $x$ negatives? Quants anys pot sobreviure l’empresa?

b) Representeu la funció de guanys o pèrdues en funció dels anys calculant: punts de tall amb els eixos, asímptotes, intervals de creixement i decreixement i màxims i mínims, si n’hi ha.

c) El director de l’empresa ha de presentar un estudi sobre la viabilitat de la seva empresa i ha de respondre les preguntes següents:
i. En quin interval es mouran els seus beneficis?
ii. En quin any deixa de tenir pèrdues l’empresa?
iii. Estan limitats els seus beneficis? Si ho estan, quin és aquest límit?

La funció donada és \( y = \frac{2x – 4}{x + 2} \), on \( x \geq 0 \) representa els anys de vida de l’empresa i \( y \) les pèrdues o guanys en centenars de milers d’euros. Anem a resoldre cada apartat.

a) Té sentit tenir \( x \) negatives? Quants anys pot sobreviure l’empresa?

• Té sentit tenir \( x \) negatives? No, ja que \( x \) representa els anys de vida de l’empresa i, per definició, \( x \geq 0 \). Valors negatius no són coherents amb el context.

• Quants anys pot sobreviure l’empresa? Per determinar-ho, analitzem quan \( y \) esdevé negativa (pèrdues). Però primer, veiem el comportament a llarg termini: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x – 4}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x} = 2 \] Els guanys s’aproximen a 2 (200.000 €) quan \( x \to \infty \). Com que \( y \) no esdevé negativa a llarg termini i l’empresa pot operar mentre tingui guanys positius o pèrdues manejables, analitzem quan \( y < 0 \): \[ \frac{2x – 4}{x + 2} < 0 \implies 2x – 4 < 0 \implies x < 2 \] L’empresa té pèrdues per \( 0 \leq x < 2 \), però no hi ha cap indicació que això la faci tancar, ja que després de \( x = 2 \) comença a tenir guanys. Per tant, pot sobreviure indefinidament.

Resposta: No té sentit tenir \( x \) negatives. L’empresa pot sobreviure indefinidament.

b) Representació de la funció: punts de tall, asímptotes, intervals de creixement/decreixement i màxims/mínims

1. Punts de tall amb els eixos:

• Amb l’eix \( x \) (quan \( y = 0 \)): \[ \frac{2x – 4}{x + 2} = 0 \implies 2x – 4 = 0 \implies x = 2 \] Punt de tall: \( (2, 0) \).

• Amb l’eix \( y \) (quan \( x = 0 \)): \[ y = \frac{2(0) – 4}{0 + 2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Punt de tall: \( (0, -2) \).

2. Asímptotes:

• Asímptota vertical: Ocorre quan el denominador és zero: \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \] Com que \( x \geq 0 \), no hi ha asímptota vertical dins del domini.

• Asímptota horitzontal: Calculem el límit quan \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x – 4}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x} = 2 \] Asímptota horitzontal a \( y = 2 \).

3. Intervals de creixement i decreixement: Calculem la derivada: \[ y = \frac{2x – 4}{x + 2} \] Apliquem la regla del quocient: \[ y’ = \frac{(2)(x + 2) – (2x – 4)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x + 4 – 2x + 4}{(x + 2)^2} = \frac{8}{(x + 2)^2} \] Com que \( (x + 2)^2 > 0 \) per a \( x \geq 0 \), \( y’ > 0 \). La funció és estrictament creixent per a \( x \geq 0 \).

4. Màxims i mínims: Com que \( y’ > 0 \) sempre, no hi ha punts crítics (\( y’ = 0 \)). No hi ha màxims ni mínims relatius. El valor mínim dins del domini és a \( x = 0 \), \( y = -2 \).

5. Representació gràfica: La funció comença a \( (0, -2) \), creua l’eix \( x \) a \( (2, 0) \), i creix cap a l’asímptota \( y = 2 \).

Resposta:

• Punts de tall: \( (2, 0) \) i \( (0, -2) \).

• Asímptota: Horitzontal a \( y = 2 \).

• Intervals: Creixent per \( x \geq 0 \).

• Màxims/mínims: Cap (mínim al límit a \( x = 0 \), \( y = -2 \)).

c) Estudi de viabilitat

i. En quin interval es mouran els seus beneficis? Els beneficis són quan \( y > 0 \), per \( x > 2 \). Avaluant:

• A \( x = 2 \), \( y = 0 \).

• Quan \( x \to \infty \), \( y \to 2 \). Com que \( y \) és creixent, els beneficis estan en l’interval \( (0, 2) \), és a dir, de 0 a 200.000 € (excloent 0).

Resposta: Els beneficis es mouran en \( (0, 2) \) (de 0 a 200.000 €).

ii. En quin any deixa de tenir pèrdues l’empresa Les pèrdues són quan \( y < 0 \): \[\frac{2x – 4}{x + 2} < 0 \implies 2x – 4 < 0 \implies x < 2\]A \( x = 2 \), \( y = 0 \), i per \( x > 2 \), \( y > 0 \). Per tant, deixa de tenir pèrdues a partir de \( x = 2 \).

Resposta: L’empresa deixa de tenir pèrdues a \( x = 2 \) (any 2).

iii. Estan limitats els seus beneficis? Si ho estan, quin és aquest límit? Com hem vist, \( \lim_{x \to \infty} y = 2 \). Els beneficis s’acosten a 2 (200.000 €) però mai l’aconsegueixen exactament.

Resposta: Sí, els beneficis estan limitats. El límit és 2 (200.000 €).

Resum final

• a) No té sentit tenir \( x \) negatives. L’empresa pot sobreviure indefinidament.

• b) Punts de tall: \( (2, 0) \), \( (0, -2) \); asímptota: \( y = 2 \); creixent per \( x \geq 0 \); sense màxims/mínims relatius.

• c)
  • i. Beneficis en \( (0, 2) \) (0 a 200.000 €).
  • ii. Deixa de tenir pèrdues a \( x = 2 \).
  • iii. Beneficis limitats a 2 (200.000 €).