Discussió sistema d’equacions

Considerem el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $k$: $$\begin{cases}x + 3y + 2z = -1 \\ x + k^2 y + 3z = 2k \\ 3x + 7y + 7z = k – 3\end{cases}$$ a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $k$. b) Resoleu el sistema per al cas $k = -1$.

a) La matriu del sistema és $$\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 & \mid & -1 \\ 1 & k^2 & 3 & \mid & 2k \\ 3 & 7 & 7 & \mid & k – 3\end{pmatrix}$$

Igualem el determinant de la matriu de coeficients a zero:

$$\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2 \\
1 & k^2 & 3 \\
3 & 7 & 7
\end{vmatrix} = k^2 – 1 = 0 \implies k = \pm 1$$

Cas 1: $k \neq \pm 1$. El sistema és compatible determinat $\det(A) \neq 0$, i per tant, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A’) = 3 = \text{nombre d’incògnites}$.

Cas 2: $k = 1$

$$\text{rg}(A) = \text{rg} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 7 & 7 \end{pmatrix} = 2, \text{ja que el menor} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 – 3 = -2 \neq 0.$$

$$\text{rg}(A’) = \text{rg} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & \mid & -1 \\ 1 & 1 & 3 & \mid & 2 \\ 3 & 7 & 7 & \mid & -2 \end{pmatrix} = \text{rg} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & \mid & -1 \\ 0 & -2 & -1 & \mid & -3 \\ 0 & -2 & 1 & \mid & 1 \end{pmatrix} = \text{rg} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & \mid & -1 \\ 0 & 2 & -1 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \mid & -2 \end{pmatrix} = 3$$

Per tant, és un sistema incompatible, ja que $\text{rg}(A’) = 2 < \text{rg}(A’) = 3$.

Cas 3: $k = -1$

$$\text{rg}(A) = \text{rg} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 7 & 7 \end{pmatrix} = 2, \text{ja que el menor} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 – 3 = -2 \neq 0.$$

$$\text{rg}(A’) = \text{rg} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & \mid & -1 \\ 1 & 1 & 3 & \mid & -2 \\ 3 & 7 & 7 & \mid & -4 \end{pmatrix} = \text{rg} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & \mid & -1 \\ 0 & -2 & 1 & \mid & -1 \\ 0 & -2 & 1 & \mid & -1 \end{pmatrix} = 2$$

Per tant, és un sistema compatible indeterminat, ja que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A’) = 2 < 3$.

b) Si $k = -1$, el sistema d’equacions és compatible indeterminat amb un grau de llibertat, ja que tenim 3 incògnites i el rang de les matrius és 2. Les solucions del sistema són:

$$\begin{cases}
x + 3y + 2z = -1 \\
x + y + 3z = -2 \\
3x + 7y + 7z = -4
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x + 3y + 2z = -1 \\
x + y + 3z = -2 \end{cases}$$

$$\begin{cases}
x + 3y + 2z = -1 \\
2y – z = 1
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
x = 1 – 7t \\
y = t \\
z = 2t – 1
\end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$