Problema 2. Model examen selectivitat País Basc Matemàtiques II 2025

Discuteix l’existència de solució del següent sistema en funció dels valors del paràmetre $\alpha$: $$\left\{\begin{array}{l}\alpha x + 4y + z = 3, \\ \alpha x – 5y + 2z = -2, \\ 2x – y + 3z = 1.\end{array} \right.$$ Resol el sistema, si és possible, quan $\alpha = 0$ i $\alpha = 1$.

Per discutir l’existència de solució del sistema en funció del paràmetre $\alpha$, utilitzem el Teorema de Rouché-Frobenius, que estableix:

• Un sistema lineal té solució si i només si el rang de la matriu dels coeficients $A$ és igual al rang de la matriu ampliada $A^*$.
• Si aquest rang comú és igual al nombre d’incògnites, la solució és única.
• Si és menor, hi ha infinites solucions.

Sistema donat és:

\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\alpha x + 4y + z &= 3, \\
\alpha x – 5y + 2z &= -2, \\
2x – y + 3z &= 1.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

Matriu dels coeficients $A$ i matriu ampliada $A^*$

$$A = \begin{pmatrix}
\alpha & 4 & 1 \\
\alpha & -5 & 2 \\
2 & -1 & 3
\end{pmatrix}, \qquad
A^* = \begin{pmatrix}
\alpha & 4 & 1 & 3 \\
\alpha & -5 & 2 & -2 \\
2 & -1 & 3 & 1
\end{pmatrix}$$

Càlcul del determinant de $A$

$$\begin{align}\det(A) &=\alpha \cdot\begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}-4 \cdot\begin{vmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}+1 \cdot\begin{vmatrix} \alpha & -5 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \nonumber \\
&= \alpha(-15 + 2) – 4(3\alpha – 4) + (-\alpha + 10) \nonumber \\
&= \alpha(-13) – 12\alpha + 16 – \alpha + 10 \nonumber \\
&= -26\alpha + 26 \nonumber \\
&= -26(\alpha – 1)
\end{align}$$

Anàlisi:

• Si $\alpha \ne 1$, llavors $\det(A) \ne 0$ $\Rightarrow$ sistema compatible determinat (una única solució).
• Si $\alpha = 1$, llavors $\det(A) = 0$ $\Rightarrow$ cal comparar els rangs de $A$ i $A^*$.

Cas $\alpha = 1$

Substituint:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 1 \\
1 & -5 & 2 \\
2 & -1 & 3
\end{pmatrix},
A^* = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 1 & 3 \\
1 & -5 & 2 & -2 \\
2 & -1 & 3 & 1
\end{pmatrix}$$

Busquem un menor d’ordre 2 a $A$:

$$\begin{vmatrix}
1 & 4 \\
1 & -5
\end{vmatrix}
= -5 – 4 = -9 \ne 0
\Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 2$$

A $A^*$, calculem un menor 3×3 alternatiu:

$$\begin{vmatrix}
1 & 4 & 3 \\
1 & -5 & -2 \\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= 1(-5 \cdot 1 – (-2)(-1)) – 4(1 \cdot 1 – (-2)(2)) + 3(1 \cdot (-1) – (-5)(2)) = -7 – 20 + 27 = 0
\Rightarrow \operatorname{rang}(A^*) = 2$$

Conclusió: $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A^*) = 2 < 3$ $\Rightarrow$ sistema compatible indeterminat.

Resoldre el sistema per a valors concrets

1. Cas $\alpha = 0$

Sistema:

$$\left\{
\begin{aligned}
4y + z &= 3 \quad (1) \\
-5y + 2z &= -2 \quad (2) \\
2x – y + 3z &= 1 \quad (3)
\end{aligned}
\right.$$

De (1): $z = 3 – 4y$. Substituïm a (2):

$$\begin{align} -5y + 2(3 – 4y) &= -2 \\ -5y + 6 – 8y &= -2 \\ -13y &= -8 \ y &= \frac{8}{13}, z = 3 – \frac{32}{13} = \frac{7}{13} \end{align}$$

Substituïm a (3):

$$\begin{align} 2x – \frac{8}{13} + 3 \cdot \frac{7}{13} &= 1 \\ 2x + \frac{13}{13} &= 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \end{align}$$

Solució:
$$\boxed{x = 0, y = \frac{8}{13}, z = \frac{7}{13}}$$

2. Cas $\alpha = 1$

Sistema:

$$\left\{
\begin{aligned}
x + 4y + z &= 3 \quad (1) \\
x – 5y + 2z &= -2 \quad (2) \\
2x – y + 3z &= 1 \quad (3)
\end{aligned}
\right.$$

Restem (1)-(2):

$$(4y – (-5y)) + (z – 2z) = 5 \Rightarrow 9y – z = 5 \Rightarrow z = 9y – 5$$

Substituïm a (1):

$$\begin{align} x + 4y + (9y – 5) &= 3 \\ x + 13y = 8 \Rightarrow x = 8 – 13y \end{align}$$

Comprovació amb (3):

$$\begin{align} 2x – y + 3z &= 2(8 – 13y) – y + 3(9y – 5) \ &= 16 – 26y – y + 27y – 15 = 1 \end{align}$$

Solució:
$$\boxed{\left\{\begin{aligned}x &= 8 – 13y \\ z &= 9y – 5 \\ y &\in \mathbb{R}\end{aligned}\right.}$$

Resum de solucions segons $\alpha$

• $\alpha \ne 1$: $\textbf{una solució única}$.
• $\alpha = 1$: $\textbf{infinites solucions}$, amb: $$\left\{\begin{aligned}x &= 8 – 13y \\ z &= 9y – 5 \\ y &\in \mathbb{R} \end{aligned} \right.$$
• $\alpha = 0$: $\textbf{solució única}$, amb: $$\left\{\begin{aligned}x &= 0 \\ y &= \dfrac{8}{13} \\ z &= \dfrac{7}{13}\end{aligned}\right.$$