Discussió sistema d’equacions

Segueix el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $\lambda$: $$\begin{cases}x + 2\lambda y + (2 + \lambda)z = 0 \\ (2 + \lambda)x + y + 2\lambda z = 3 \\ 2\lambda x + (2 + \lambda)y + z = -3\end{cases}$$ a) Discuteix el sistema pels diferents valors del paràmetre $\lambda$. b) Per al cas $\lambda = –1$, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució.

a) Estudi del sistema d’equacions lineals segons els valors del paràmetre $\lambda$. $$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2\lambda & 2 + \lambda & 0 \\
2 + \lambda & 1 & 2\lambda & 3 \\
2\lambda & 2 + \lambda & 1 & -3
\end{array}
\right)$$

Calculem el determinant de la matriu del sistema i estudiem per a quins valors el determinant s’anul·la: $$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 2\lambda & 2 + \lambda & 1 \end{array} \right| = 9\lambda^3 + 9 = 9(\lambda^3 + 1)$$

Quan resolem l’equació $9(\lambda^3 + 1) = 0, obtenim λ3=−1\lambda^3 = -1$, i d’aquí $\lambda = -1$.

Per tant, tenim dos casos a discutir:

1. Cas I: $\lambda \neq -1$
   El determinant és diferent de zero, per tant el sistema és compatible determinat (SCD), i té una única solució.
2. Cas II:$\lambda = -1$
   El determinant s’anul·la. Caldrà estudiar els rangs de les matrius per determinar si el sistema és compatible indeterminat (SCI) o incompatible (SI).

Com que $|M| = 0$, aleshores $\text{Rang}(M) < 3$, però, en tenir $\left| \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right| = 1 + 3 = 4 \neq 0$,

aleshores $\text{Rang}(M) = 2$.

D’altra banda, si orlem el menor anterior: $$\left| \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \\ \end{array} \right| = -3 + 12 – 3 – 6 = 0$$,

per tant, $\text{Rang}(M^*) = 2$.

Aleshores, com que $\text{Rang}(M) = \text{Rang}(M^*) = 2 < \text{nombre d’incògnites} =3$, es tracta d’un sistema compatible indeterminat (SCI) amb 1 grau de llibertat (3 − 2).

Observació: de forma alternativa, el primer determinant es podria haver calculat utilitzant les propietats dels determinants.

$$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 2\lambda & 2 + \lambda & 1 \\ \end{array} \right| \overset{(*)}{=} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 3 + 3\lambda & 3 + 3\lambda & 3 + 3\lambda \\ \end{array} \right| = (3 + 3\lambda) \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right|$$ $$= 3(1 + \lambda) \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right| = 3(1 + \lambda)(3\lambda^2 – 3\lambda + 3) = 9(1 + \lambda)(\lambda^2 – \lambda + 1)$$

(*) Sumant a la tercera fila les dues primeres files.

b) Estudiem el cas $\lambda = -1$.

Sabem que es tracta d’un sistema compatible indeterminat (SCI) amb un grau de llibertat, i el menor d’ordre 2 no nul ens indica les equacions i les incògnites que ens hem de quedar: $$\begin{cases} x – 2y = -z \\ x + y = 3 + 2z \\ \end{cases}$$

Ara podem resoldre aplicant el mètode de Cramer: $$x = \frac{ \left| \begin{array}{cc} -z & -2 \\ 3 + 2z & 1 \\ \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right| } = \frac{(-z)(1) – (-2)(3 + 2z)}{1 + 2} = \frac{-z + 6 + 4z}{3} = \frac{3z + 6}{3} =$$ $$y = \frac{ \left| \begin{array}{cc} 1 & -z \\ 1 & 3 + 2z \\ \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right| } = \frac{(1)(3 + 2z) – (1)(-z)}{3} = \frac{3 + 2z + z}{3} = \frac{3 + 3z}{3} = z + 1$$

Solució: $$(x, y, z) = (z + 2, \; z + 1, \; z) \quad \text{amb } z \text{ paràmetre}$$

Interpretació geomètrica:
Cadascuna de les equacions representa un pla a $\mathbb{R}^3$. El fet que la solució tingui un grau de llibertat ens indica que aquests tres plans es tallen en una recta, que és la formada pels punts de la forma: $$(z + 2, \; z + 1, \; z) = (2, 1, 0) + z \cdot (1, 1, 1)$$

La recta intersecció és la que passa pel punt $(2,1,0)$ i té vector director $(1,1,1)$.