Minimització de la Superfície d’una Capsa amb Base Quadrangular

Calculau les dimensions d’una capsa amb les dues tapes de base quadrangular de volum 64 metres cúbics de superfície mínima. Comprovau que la solució obtinguda és un mínim.

---

Pas 1: Plantejament del problema

La capsa té una base quadrangular amb costat $a$ i alçada $h$. El volum de la capsa està donat per:

$$V = a^2 \cdot h = 64$$

La superfície total d’una capsa tancada (amb base i tapa superior) es calcula com la suma de les àrees de les sis cares:

• Dues bases quadrades: $2 \cdot a^2$
• Quatre cares laterals (cada una amb àrea $a \cdot h$): $4 \cdot a \cdot h$

Per tant, la superfície total $S$ és:

$$S = 2a^2 + 4ah$$

L’objectiu és minimitzar $S$ subjecte a la restricció $a^2 h = 64$.

---

Pas 2: Expressar la superfície en funció d’una variable

De la condició del volum, expressem $h$ en funció de $a$:

$$h = \frac{64}{a^2}$$

Substituint $h$ a l’expressió de la superfície:

$$S(a) = 2a^2 + 4a \cdot \frac{64}{a^2}$$

Simplifiquem:

$$S(a) = 2a^2 + \frac{256}{a}$$

Ara hem de trobar el valor de $a$ que minimitza la funció $S(a)$.

---

Pas 3: Derivar i trobar punts crítics

Per trobar el mínim, calculem la derivada de $S(a)$ respecte a $a$ i igualem a zero:

$$S(a) = 2a^2 + 256a^{-1}$$

Derivem:

$$S'(a) = \frac{d}{da} \left( 2a^2 + 256a^{-1} \right) = 4a – \frac{256}{a^2}$$

Igualem la derivada a zero per trobar els punts crítics:

$$4a – \frac{256}{a^2} = 0$$

Multipliquem per (a^2) per eliminar el denominador:

$$4a \cdot a^2 = 256 \implies 4a^3 = 256 \implies a^3 = 64 \implies a = \sqrt[3]{64} = 4$$

Per tant, $a = 4$ metres.

---

Pas 4: Calcular l’alçada (h)

Substituint $a = 4$ a l’expressió del volum:

$$h = \frac{64}{a^2} = \frac{64}{4^2} = \frac{64}{16} = 4$$

Així, les dimensions de la capsa són $a = 4$ metres (costat de la base) i $h = 4$ metres (alçada). La capsa és un cub amb costat de $4$ metres.

---

Pas 5: Comprovar que és un mínim

Per confirmar que $a = 4$ correspon a un mínim, utilitzem el criteri de la segona derivada. Calculem la segona derivada de $S(a)$:

$$S'(a) = 4a – 256a^{-2}$$

Derivem de nou:

$$S”(a) = \frac{d}{da} \left( 4a – 256a^{-2} \right) = 4 + 512a^{-3}$$

Avaluem $S”(a)$ en $a = 4$:

$$S”(4) = 4 + \frac{512}{4^3} = 4 + \frac{512}{64} = 4 + 8 = 12$$

Com que $S”(4) = 12 > 0$, la funció té un mínim local en $a = 4$.

---

Pas 6: Anàlisi addicional per confirmar el mínim global

Per assegurar-nos que aquest és el mínim global, observem el comportament de $S(a)$:

• Quan $a \to 0^+$, $S(a) = 2a^2 + \frac{256}{a} \to +\infty$.
• Quan $a \to +\infty$, $S(a) = 2a^2 + \frac{256}{a} \to +\infty$.

Com que (S(a)) tendeix a infinit en els extrems i té un únic punt crític en $a = 4$ (ja que $S'(a) = 4a – \frac{256}{a^2} = 0$ només té una solució real positiva), aquest punt crític és el mínim global.

---

Pas 7: Calcular la superfície mínima

Substituint $a = 4$ i $h = 4$ a l’expressió de la superfície:

$$S = 2a^2 + 4ah = 2(4^2) + 4(4)(4) = 2 \cdot 16 + 4 \cdot 16 = 32 + 64 = 96$$

La superfície mínima és de $96$ metres quadrats.

---

Resposta final

Les dimensions de la capsa amb base quadrangular de volum $64$ metres cúbics i superfície mínima són:

• Costat de la base: $a = 4$ metres
• Alçada: $h = 4$ metres
• Superfície mínima: $S = 96$ metres quadrats

La solució és un mínim perquè la segona derivada en $a = 4$ és positiva ($S”(4) = 12 > 0$), i l’anàlisi del comportament de la funció confirma que és el mínim global.