Estudi d’una funció polinòmica de tercer grau

Sigui la funció polinòmica de grau tres: $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ a) Es sap que la corba de $f(x)$ talla l’eix d’abscisses en $x = -1$ i que té un punt d’inflexió al punt $(2, 1)$. Determineu els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$. b) Suposem ara que la funció és: $f(x) = x^3 + 3x^2 – 9x + 1$ Estudieu els intervals de creixement i decreixement, i determineu si la funció té extrems relatius. En cas afirmatiu, indiqueu les coordenades d’aquests extrems.

Solució

a) Determinació dels paràmetres $a$, $b$, $c$

Condicions donades:

1. $f(-1) = 0$
2. $f(2) = 1$
3. $f”(2) = 0$

Funció general: $$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$ $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$, $$f”(x) = 6x + 2a$$

De la condició 3: $$f”(2) = 0 \Rightarrow 12 + 2a = 0 \Rightarrow a = -6$$

Substituïm a en les altres dues condicions:

• De $(-1) = 0$: $$-1 + a – b + c = 0 \Rightarrow -6 – b + c = 1 \Rightarrow c = b + 7$$
• De $f(2) = 1$: $$8 + 4a + 2b + c = 1 \Rightarrow -24 + 2b + c = -7 \Rightarrow 2b + c = 17$$

Substituint $c = b + 7$: $$2b + (b + 7) = 17 \Rightarrow 3b = 10 \Rightarrow b = \frac{10}{3}, \quad c = \frac{31}{3}$$

✅ Resultat del punt $a$: $$a = -6, \quad b = \frac{10}{3}, \quad c = \frac{31}{3}$$

b) Estudi de creixement i extrems per $f(x) = x^3 + 3x^2 – 9x + 1$

1. Derivada primera: $f'(x) = 3x^2 + 6x – 9 = 3(x + 3)(x – 1)$

Punts crítics: $x = -3$, $x = 1$

2. Estudi de signes de f′(x)f'(x):

3. Càlcul dels extrems:

• $f(-3) = -27 + 27 + 27 + 1 = 28$ ⇒ màxim relatiu
• $f(1) = 1 + 3 – 9 + 1 = -4$ ⇒ mínim relatiu

✅ Resultat del punt b:

• Màxim relatiu a $(-3, 28)$
• Mínim relatiu a $(1, -4)$
• La funció és:
  • Creixent a $(-\infty, -3) \cup (1, \infty)$
  • Decreixent a $(-3, 1)$

Gràfica de la funció

A la següent gràfica es mostra la funció $f(x) = x^3 + 3x^2 – 9x + 1$, amb els extrems marcats: