Discussió sistemes d’equacions

Es considera el sistema $$\begin{cases} x+ay-z = 2 \\ 2x+y+az=0 \\ x+y-z=a+1 \end{cases}$$, on a és un paràmetre real. Es demana:

1. Discutir (no resoldre) el sistema en funció del valor d’$a$.
2. Trobar la solució del sistema per a $a = 1$, si es pot.

Apartat 1: Anàlisi del sistema segons el valor de $a$

El sistema es pot escriure en forma matricial com:
$$A \mathbf{x} = \mathbf{b},$$
on
$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ a+1 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.$$
La matriu ampliada és:
$$A’ = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 & | & 2 \\ 2 & 1 & a & | & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & a+1 \end{pmatrix}.$$

Càlcul del determinant de $A$ (regla de Sarrus)

$$\det(A) = (1 \cdot 1 \cdot (-1) + a \cdot a \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot 1) – ((-1) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot 2 + a \cdot 1 \cdot (-1))$$
$$= (-1 + a^2 – 2) – (-1 – 2a + a) = a^2 – 3 – (-1 – a) = a^2 – 3 + 1 + a = a^2 + a – 2.$$
Resolem (a^2 + a – 2 = 0):
$$\Delta = 1 + 8 = 9 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{-1 \pm 3}{2} \quad \Rightarrow \quad a = 1 \quad \text{o} \quad a = -2.$$
Per tant, $\det(A) \neq 0$ si i només si $a \neq -2$ i $a \neq 1$.

Cas 1: $a \neq -2 \wedge a \neq 1$

$\det(A) \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rang}(A) = 3$. Com que $\operatorname{rang}(A’) \leq 3$ i $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A’)$ (perquè $A$ és invertible), tenim $\operatorname{rang}(A’) = 3$.

Pel teorema de Rouché-Fröbenius: $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A’) = n = 3 \Rightarrow$ compatible determinat (solució única).

Cas 2: $a = -2$

Matriu ampliada:
$$A’ = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & | & 2 \\ 2 & 1 & -2 & | & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & -1 \end{pmatrix}.$$
Escalonem:
$$\begin{aligned}
&F_2′ \leftarrow F_2 – 2F_1, \quad F_3′ \leftarrow F_3 – F_1 \quad \sim \quad
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 5 & 0 & | & -4 \\ 0 & 3 & 0 & | & -3 \end{pmatrix}, \\
&F_3” \leftarrow \frac{1}{3} F_3′, \quad F_2 \leftrightarrow F_3” \quad \sim \quad
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 5 & 0 & | & -4 \end{pmatrix}, \\
&F_3”’ \leftarrow F_3 – 5F_2 \quad \sim \quad
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}.
\end{aligned}$$

• $\operatorname{rang}(A) = 2$ (dues files no nul·les sense la columna de termes independents).
• $\operatorname{rang}(A’) = 3$ (fila $0\,0\,0\,|\,1$).

Pel teorema de Rouché-Fröbenius: $\operatorname{rang}(A) < \operatorname{rang}(A’) \Rightarrow$ incompatible (cap solució).

Cas 3: $a = 1$

Matriu ampliada:
$$A’ = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 2 & 1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & 2 \end{pmatrix}.$$
Escalonem:
$$F_2′ \leftarrow F_2 – 2F_1, \quad F_3′ \leftarrow F_3 – F_1 \quad \sim \quad
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & -1 & 3 & | & -4 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}.$$

• $\operatorname{rang}(A) = 2$, $\operatorname{rang}(A’) = 2$.
• Nombre d’incògnites: $n = 3$.

Pel teorema de Rouché-Fröbenius: $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A’) < n \Rightarrow$ compatible indeterminat amb $n – \operatorname{rang}(A) = 1$ grau de llibertat.

Apartat 2: Solució per $a = 1$

Matriu escalonada:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & -1 & 3 & | & -4 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}.$$
Equacions equivalents:

1. $x + y – z = 2$,
2. $-y + 3z = -4 \quad \Leftrightarrow \quad y = 4 + 3z$.

Substituïm a la primera:
$$x + (4 + 3z) – z = 2 \quad \Rightarrow \quad x + 4 + 2z = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -2 – 2z.$$
Parametritzem amb $z = t \in \mathbb{R}$:
$$x = -2 – 2t, \quad y = 4 + 3t, \quad z = t.$$
Solució general:
$$(x, y, z) = (-2, 4, 0) + t (-2, 3, 1), \quad t \in \mathbb{R}.$$
(O equivalentment: $(x,y,z) = (-2,4,0) + z \cdot (-2,3,1)$, amb $z \in \mathbb{R}$).