Resol el sistema d’equacions següent utilitzant el mètode de Gauss (eliminació gaussiana): $$\begin{cases}x + y + z = 0 \\ 2x – 5y – 2z = -2 \\ 3x + 4y + z = 8\end{cases}$$

Apliquem el mètode sobre la matriu ampliada:

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 0 \\
2 & -5 & -2 & | & -2 \\
3 & 4 & 1 & | & 8
\end{bmatrix}$$

---

✅ Resolució amb el mètode de Gauss

---

Pas 1: Eliminar $x$ de les files 2 i 3

Fila 2 ← F2 − 2·F1
$$\begin{bmatrix}
0 & -7 & -4 & | & -2
\end{bmatrix}$$

Fila 3 ← F3 − 3·F1
$$\begin{bmatrix}
0 & 1 & -2 & | & 8
\end{bmatrix}$$

Matriu resultant:

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 0 \\
0 & -7 & -4 & | & -2 \\
0 & 1 & -2 & | & 8
\end{bmatrix}$$

---

Pas 2: Normalitzar el pivot de la columna $y$

Fila 2 ← F2 ÷ (−7)

$$\begin{bmatrix}
0 & 1 & \frac{4}{7} & | & \frac{2}{7}
\end{bmatrix}$$

Matriu:

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 0 \\
0 & 1 & \frac{4}{7} & | & \frac{2}{7} \\
0 & 1 & -2 & | & 8
\end{bmatrix}$$

---

Pas 3: Eliminar $y$ de la fila 3

Fila 3 ← F3 − F2

Càlculs:

$$-2 – \frac{4}{7} = -\frac{18}{7}$$

$$8 – \frac{2}{7} = \frac{54}{7}$$

Fila 3:

$$\begin{bmatrix}
0 & 0 & -\frac{18}{7} & | & \frac{54}{7}
\end{bmatrix}$$

Matriu:

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 0 \\
0 & 1 & \frac{4}{7} & | & \frac{2}{7} \\
0 & 0 & -\frac{18}{7} & | & \frac{54}{7}
\end{bmatrix}$$

---

Pas 4: Resoldre per $z$

$$-\frac{18}{7} z = \frac{54}{7}$$

$$z = -3$$

$$\boxed{z = -3}$$

---

✅ Substitució cap enrere

Fila 2:

$$y + \frac{4}{7}(-3) = \frac{2}{7}$$

$$y – \frac{12}{7} = \frac{2}{7}
\quad\Rightarrow\quad
y = \frac{14}{7} = 2$$

$$\boxed{y = 2}$$

Fila 1:

$$x + y + z = 0$$

$$x + 2 – 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1$$

$$\boxed{x = 1}$$

---

✅ Solució final

$$\boxed{(x,y,z) = (1,2,-3)}$$

---