Discussió sistema segons un paràmetre

Discuteix, en funció del paràmetre $\lambda$, aquest sistema d’equacions. $$\begin{cases} x + y – z = \lambda \\ \lambda x + 2y – z = 3\lambda \\ 2x + \lambda y – z = 6\end{cases}$$

PRIMER. Calculem el rang de $A$ atenent als valors del paràmetre.

$$|A| =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
\lambda & 2 & -1 \\
2 & \lambda & -1
\end{vmatrix}
= -\lambda^2 + 2\lambda$$

$$-\lambda^2 + 2\lambda = 0 \quad \rightarrow \quad
\begin{cases}
\lambda = 0 \\
\lambda = 2
\end{cases}$$

Si $\lambda \neq 0$ i $\lambda \neq 2 \rightarrow \operatorname{Rang}(A) = 3$

Si $\lambda = 0$ o $\lambda = 2 \rightarrow
\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
2 & -1
\end{vmatrix} \neq 0 \quad \rightarrow \quad \operatorname{Rang}(A) = 2$

SEGON. Calculem el rang de $A^*$ atenent als valors del paràmetre que hem obtingut en el pas anterior.

$$A^* =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & \lambda \\
\lambda & 2 & -1 & | & 3\lambda \\
2 & \lambda & -1 & | & 6
\end{pmatrix}$$

Si $\lambda \neq 0$ i $\lambda \neq 2 \rightarrow \operatorname{Rang}(A) = 3 = \operatorname{Rang}(A^*)$

Si $\lambda = 0 \rightarrow \operatorname{Rang}(A) = 2$

$$A^* =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 0 \\
0 & 2 & -1 & | & 0 \\
2 & 0 & -1 & | & 6
\end{pmatrix}
\quad
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 6
\end{vmatrix}
\neq 0 \quad \rightarrow \quad \operatorname{Rang}(A^*) = 3$$

Si $\lambda = 2 \rightarrow \operatorname{Rang}(A) = 2$

$$A^* =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 2 \\
2 & 2 & -1 & | & 6 \\
2 & 2 & -1 & | & 6
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{vmatrix}
1 & -1 \
2 & -1
\end{vmatrix} \neq 0 \quad \rightarrow \quad \operatorname{Rang}(A^*) = 2$$

TERCER. Apliquem el teorema de Rouché-Fröbenius.

Si $\lambda \neq 0$ i $\lambda \neq 2 \rightarrow \operatorname{Rang}(A) = \operatorname{Rang}(A^*) = 3 =$ nre. d’incògnites.
$\textbf{Sistema compatible determinat.}$

Si $\lambda = 0 \rightarrow \operatorname{Rang}(A) = 2 \neq \operatorname{Rang}(A^*) = 3$.
$\textbf{Sistema incompatible.}$

Si $\lambda = 2 \rightarrow \operatorname{Rang}(A) = \operatorname{Rang}(A^*) = 2 < $ nre. d’incògnites.
$\textbf{Sistema compatible indeterminat.}$