Problema de matrius invertibles

Considerem les matrius quadrades d’ordre $2$ de la forma \[M = \begin{pmatrix} x & -1 \\ y^2 + 1 & x\end{pmatrix},\] amb $x$ i $y$ nombres reals. Es demana: a) Comprovar que la matriu $M$ és sempre invertible, independentment dels valors de $x$ i $y$. b) Per a $x = 1$ i $y = -1$, calcular $M^{-1}$.

Una matriu quadrada $2 \times 2$ és invertible si i només si el seu determinant és diferent de zero. Calculem el determinant de la matriu $M$:

Per a la matriu $M = \begin{pmatrix} x & -1 \\ y^2 + 1 & x \end{pmatrix}$, el determinant es calcula com:

\[\det(M) = (x)(x) – (-1)(y^2 + 1) = x^2 – (-(y^2 + 1)) = x^2 + y^2 + 1.\]

Analitzem si $\det(M) = x^2 + y^2 + 1$ pot ser zero. Com que $x$ i $y$ són nombres reals:

•     $x^2 \geq 0$, ja que el quadrat d’un nombre real és sempre no negatiu.
•     $y^2 \geq 0$, per la mateixa raó.
•     $1 > 0$.

Per tant:

\[x^2 + y^2 + 1 \geq 0 + 0 + 1 = 1.\]

El valor mínim de $x^2 + y^2 + 1$ és 1, que s’assoleix quan $x = 0$ i $y = 0$. Per a qualsevol altre valor de $x$ o $y$, el resultat és estrictament major que 1. Com que $x^2 + y^2 + 1 \geq 1 > 0$, el determinant mai és zero.

$\textbf{Conclusió}$: La matriu $M$ és sempre invertible, ja que $\det(M) \neq 0$ per a qualsevol $x, y \in \mathbb{R}$.

Calcular $M^{-1}$ per a $x = 1$ i $y = -1$

Per trobar la inversa d’una matriu $2 \times 2$ de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, utilitzem la fórmula:

\[M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.\]

Substituïm $x = 1$ i $y = -1$ a la matriu $M$:

\[y^2 + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2.\]

Aleshores, la matriu és:

\[M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.\]

Calculem el determinant:

\[\det(M) = (1)(1) – (-1)(2) = 1 – (-2) = 1 + 2 = 3.\]

Com que $\det(M) = 3 \neq 0$, la matriu és invertible. Ara apliquem la fórmula de la inversa:

•     $a = 1$,
•     $b = -1$,
•     $c = 2$,
•     $d = 1$.

La matriu adjunta és:

\[\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -(-1) \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}.\]

Per tant, la inversa és:

\[M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]

$\textbf{Verificació}$: Comprovem que $M \cdot M^{-1} = I$, on $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ és la matriu identitat:

\[M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]

Calculem el producte:

•     Element (1,1): $1 \cdot \frac{1}{3} + (-1) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$.
•     Element (1,2): $1 \cdot \frac{1}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} – \frac{1}{3} = 0$.
•     Element (2,1): $2 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} – \frac{2}{3} = 0$.
•     Element (2,2): $2 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$.

Així:

\[M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.\]

La verificació confirma que el càlcul és correcte.

$\textbf{Resposta final}$:

•     La matriu $M$ és sempre invertible perquè $\det(M) = x^2 + y^2 + 1 \geq 1 > 0$ per a qualsevol $x, y \in \mathbb{R}$.
•     Per a $x = 1$ i $y = -1$, la inversa és:

    \[    M^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.    \]