Matrius i determinants

Donades les matrius següents: $$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ a) Calcula la matriu suma \( A + B \) i la matriu producte \( AB \). b) Calcula el determinant de la matriu \( A \) (\( \det(A) \)) i de la matriu \( B \) (\( \det(B) \)). c) Determina si la matriu \( AB \) és invertible basant-te en els determinants calculats. Justifica la resposta.

a) Matriu suma \( A + B \) i matriu producte \( AB \)

$\textbf{Matriu suma \( A + B \):}$ S’obté sumant els elements corresponents de \( A \) i \( B \): \[ A + B = \begin{pmatrix} 1+0 & 2+1 & 3+0 \\ 4+1 & 5+0 & 6+1 \\ 7+0 & 8+1 & 9+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & 7 \\ 7 & 9 & 9 \end{pmatrix} \]

$\textbf{Matriu producte \( AB \):}$ S’obté multiplicant les matrius segons la regla de multiplicació de matrius (fila per columna). \[ AB = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot0 & 1\cdot1 + 2\cdot0 + 3\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot0 \\ 4\cdot0 + 5\cdot1 + 6\cdot0 & 4\cdot1 + 5\cdot0 + 6\cdot1 & 4\cdot0 + 5\cdot1 + 6\cdot0 \\ 7\cdot0 + 8\cdot1 + 9\cdot0 & 7\cdot1 + 8\cdot0 + 9\cdot1 & 7\cdot0 + 8\cdot1 + 9\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 5 & 10 & 5 \\ 8 & 16 & 8 \end{pmatrix} \]

b) Determinants \( \det(A) \) i \( \det(B) \)

$\textbf{\( \det(A) \):}$ Utilitzem la fórmula del determinant d’una matriu \( 3\times 3 \): \[ \det(A) = 1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} – 2\cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3\cdot\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \] \[ = 1\cdot(5\cdot9 – 6\cdot8) – 2\cdot(4\cdot9 – 6\cdot7) + 3\cdot(4\cdot8 – 5\cdot7) = 1\cdot(45-48) – 2\cdot(36-42) + 3\cdot(32-35) = -3 + 12 – 9 = 0 \]

$\textbf{\( \det(B) \):}$ \[ \det(B) = 0\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} – 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 0\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 – 1\cdot(1\cdot0 – 1\cdot0) + 0 = 0 \]

c) La matriu \( AB \) és invertible?

$\textbf{Resposta:}$ No, la matriu \( AB \) $\textbf{no és invertible}$.

$\textbf{Justificació:}$ Una matriu quadrada és invertible si i només si el seu determinant és diferent de zero. Pel teorema de les matrius, \[ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) = 0 \cdot 0 = 0. \] Com que \( \det(AB) = 0 \), la matriu \( AB \) no és invertible.

(Observació addicional: les files de \( AB \) són linealment dependents —fila 2 = \( \frac{5}{2} \)·fila 1 i fila 3 = 4·fila 1—, confirmant que és singular.)