Estudi sobre absència mensual dels treballadors

Una empresa estudia el nombre de dies d’absència mensuals dels treballadors del torn nocturn. La informació que obté és la següent: $$\begin{array}{c|c}\text{Absències mensuals } (X_i) & \text{Nombre de treballadors } (n_i) \\ 0 & 25 \\ 1 & 10 \\ 2 & 15 \\ 3 & 5 \\ 4 & 5\end{array}$$

a) Calculeu la mitjana aritmètica, la variància i la desviació estàndard de la variable absències mensuals.
b) Quin és el valor més probable d’absències mensuals?
c) Determineu el valor del primer i del tercer quartil de la variable absències mensuals.

a) Mitjana, variància i desviació estàndard

El nombre total d’observacions és:
$$N = 25 + 10 + 15 + 5 + 5 = 60$$

La mitjana aritmètica és:
$$\bar{x} = \frac{\sum X_i n_i}{N}$$
$$\sum X_i n_i = 0(25) + 1(10) + 2(15) + 3(5) + 4(5) = 75$$
$$\bar{x} = \frac{75}{60} = 1.25$$

La variància és:
$$\sigma^2 = E[X^2] – \bar{x}^2$$
$$\sum X_i^2 n_i = 0 + 10 + 60 + 45 + 80 = 195$$
$$E[X^2] = \frac{195}{60} = 3.25$$
$$\sigma^2 = 3.25 – (1.25)^2 = 1.6875$$

La desviació estàndard és:
$$\sigma = \sqrt{1.6875} \approx 1.299$$

b) Valor més probable (moda)

El valor amb major freqüència és:
$$\text{Moda} = 0$$

c) Quartils

Les posicions dels quartils són:
$$Q_1 = 0.25(N+1) = 0.25 \cdot 61 = 15.25$$
$$Q_3 = 0.75(N+1) = 0.75 \cdot 61 = 45.75$$

Distribució acumulada:
$$\begin{array}{c|c|c}X_i & n_i & \text{Acumulada} \\ 0 & 25 & 25 \\1 & 10 & 35 \\ 2 & 15 & 50 \\ 3 & 5 & 55 \\ 4 & 5 & 60\end{array}$$

La posició 15.25 cau dins del grup $X_i = 0$.
La posició 45.75 cau dins del grup $X_i = 2$.

$$Q_1 = 0, \qquad Q_3 = 2$$