Problema sobre matrius

Es consideren les següents matrius \( A \) i \( B \):\[A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}\] 1. Suma de matrius: Calcula \( A + B \). 2. Multiplicació per un escalar: Calcula \( 3A – 2B \). 3. Producte de matrius: Troba el producte \( A \cdot B \). 4. Transposada d’una matriu: Troba la transposada de la matriu \( B \), és a dir, \( B^T \). 5. Verificació de propietats: (a) Verifica si es compleix que \( A \cdot B \neq B \cdot A \) (comprova si la multiplicació de matrius és commutativa). (b) Comprova si \( (A + B)^T = A^T + B^T \).

Dades:\[A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}\]

1. Suma de matrius: Calcula \( A + B \)\[A + B = \begin{pmatrix} 3 + (-2) & -1 + 0 & 2 + 1 \\ 0 + 4 & 4 + (-1) & -3 + 2 \\ 1 + 0 & 5 + 3 & 0 + (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & -1 \\ 1 & 8 & -1 \end{pmatrix}\]

2. Multiplicació per un escalar: Calcula \( 3A – 2B \)- \( 3A = 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -3 & 6 \\ 0 & 12 & -9 \\ 3 & 15 & 0 \end{pmatrix} \)- \( 2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 2 \\ 8 & -2 & 4 \\ 0 & 6 & -2 \end{pmatrix} \)- \( 3A – 2B = \begin{pmatrix} 9 – (-4) & -3 – 0 & 6 – 2 \\ 0 – 8 & 12 – (-2) & -9 – 4 \\ 3 – 0 & 15 – 6 & 0 – (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -3 & 4 \\ -8 & 14 & -13 \\ 3 & 9 & 2 \end{pmatrix} \)

3. Producte de matrius: Troba el producte \( A \cdot B \)\[A \cdot B = \begin{pmatrix}3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 3 & 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) \\0 \cdot (-2) + 4 \cdot 4 + (-3) \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 & 0 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) \\1 \cdot (-2) + 5 \cdot 4 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 & 1 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 0 \cdot (-1)\end{pmatrix}\]\[= \begin{pmatrix} -6 – 4 + 0 & 0 + 1 + 6 & 3 – 2 – 2 \\ 0 + 16 + 0 & 0 – 4 – 9 & 0 + 8 + 3 \\ -2 + 20 + 0 & 0 – 5 + 0 & 1 + 10 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 7 & -1 \\ 16 & -13 & 11 \\ 18 & -5 & 11 \end{pmatrix}\]

4. Transposada d’una matriu: Troba la transposada de la matriu \( B \), és a dir, \( B^T \)\[B^T = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}\]

5. Verificació de propietats:

• (a) Verifica si \( A \cdot B \neq B \cdot A \) (comprova si la multiplicació de matrius és commutativa)

• Calculem \( B \cdot A \): \[ B \cdot A = \begin{pmatrix} -2 \cdot 3 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & -2 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 & -2 \cdot 2 + 0 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 \\ 4 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 5 & 4 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) + 2 \cdot 0 \\ 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 & 0 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) + (-1) \cdot 0 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} -6 + 0 + 1 & 2 + 0 + 5 & -4 + 0 + 0 \\ 12 + 0 + 2 & -4 – 4 + 10 & 8 + 3 + 0 \\ 0 + 0 – 1 & 0 + 12 – 5 & 0 – 9 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 7 & -4 \\ 14 & 2 & 11 \\ -1 & 7 & -9 \end{pmatrix} \]

• Comparant \( A \cdot B = \begin{pmatrix} -10 & 7 & -1 \\ 16 & -13 & 11 \\ 18 & -5 & 11 \end{pmatrix} \) i \( B \cdot A = \begin{pmatrix} -5 & 7 & -4 \\ 14 & 2 & 11 \\ -1 & 7 & -9 \end{pmatrix} \), veiem que \( A \cdot B \neq B \cdot A \), per tant, la multiplicació no és commutativa.

• (b) Comprova si \( (A + B)^T = A^T + B^T \)

• \( A + B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & -1 \\ 1 & 8 & -1 \end{pmatrix} \) (vegeu pas 1) – \( (A + B)^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ -1 & 3 & 8 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)

• \( A^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 5 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \) – \( B^T = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \)

• \( A^T + B^T = \begin{pmatrix} 3 + (-2) & 0 + 4 & 1 + 0 \\ -1 + 0 & 4 + (-1) & 5 + 3 \\ 2 + 1 & -3 + 2 & 0 + (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ -1 & 3 & 8 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)

• Com \( (A + B)^T = A^T + B^T \), la propietat es compleix.