Discussió sistema d’equacions

Considerar el sistema d’equacions\[\begin{cases}y + z = 1 \\(\lambda – 1)x + y + z = \lambda \\x + (\lambda – 1)y – z = 0\end{cases}\] a) Discutir segons els valors del paràmetre \(\lambda\). b) Resoldre’l per a \(\lambda = 0\). c) Resoldre’l per a \(\lambda = 3\).

a) \[\overline{A} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 1 \\\lambda – 1 & 1 & 1 & \lambda \\1 & \lambda – 1 & -1 & 0\end{pmatrix}, \quad |A| = \lambda(\lambda – 1) = 0 \implies \lambda = 0, \quad \lambda = 1\]

• Si \(\lambda \neq 0\) i \(\lambda \neq 1 \implies |A| \neq 0 \implies \text{Rang}(A) = 3 = \text{Rang}(\overline{A}) = \text{nº d’incògnites} \implies \text{Sistema compatible determinat (solució única).}

• Si \(\lambda = 0\)\[\overline{A} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 1 \\-1 & 1 & 1 & 0 \\1 & -1 & -1 & 0\end{pmatrix}\]

Com la tercera fila és igual a la segona multiplicada per -1, i com el menor \(\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0\), tenim \(\text{Rang}(A) = 2 = \text{Rang}(\overline{A}) < \text{nº d’incògnites} \implies \text{Sistema compatible indeterminat (infinites solucions).}

• Si \(\lambda = 1\)\[\overline{A} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 & 1 \\1 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix}\]

Com la primera fila és igual a la segona, i com el menor \(\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0\), tenim \(\text{Rango}(A) = 2 = \text{Rang}(\overline{A}) < \text{nº d’incògnites} \implies \text{Sistema compatible indeterminat (infinites solucions).}

b) Si \(\lambda = 0\)\[\begin{cases}y + z = 1 \\-x + y + z = 0 \\x + y – z = 0\end{cases}\implies\begin{cases}x = 1 \\y = 1 – t \\z = t\end{cases}\]

c) Si \(\lambda = 3\)\[\begin{cases}y + z = 1 \\2x + y + z = 3 \\x + 2y – z = 0\end{cases}\implies\begin{cases}x = 1 \\y = 0 \\z = 1\end{cases}\]