Problema 4: Plantejament i Resolució d’un Sistema d’Equacions Lineals en un Problema Aplicat

Requeriments de màquines per cada producte:

• Producte A: 2 h a M1, 1 h a M2, 3 h a M3
• Producte B: 1 h a M1, 2 h a M2, 1 h a M3
• Producte C: 1 h a M1, 1 h a M2, 1 h a M3

Disponibilitat màquines:

• M1 = 20 h
• M2 = 15 h
• M3 = 25 h

a) Planteja el sistema d’equacions.

El sistema d’equacions es pot plantejar de la següent manera:

$$\begin{cases}
2x + y + z = 20 \\
x + 2y + z = 15 \\
3x + y + z = 25
\end{cases}$$

On:

• $x$ representa el nombre d’unitats de producte A.
• $y$ representa el nombre d’unitats de producte B.
• $z$ representa el nombre d’unitats de producte C.

b) Escriu el sistema en forma matricial i resol-lo.

El sistema es pot escriure en forma matricial com:

$A = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{pmatrix}, \quad
X = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
20 \\
15 \\
25
\end{pmatrix}$$

Per resoldre aquest sistema mitjançant el mètode de Gauss o el mètode de la inversa, hem de trobar la matriu inversa de $A$, si existeix, i multiplicar-la per $B$:

$$X = A^{-1} B$$

Per tant, primer cal calcular la matriu inversa $A^{-1}$. Per a això, utilitzem el mètode de Gauss o l’algorisme de la matriu adjunta. Un cop obtinguda la inversa, multiplicarem la matriu inversa per $B$ per obtenir la solució del sistema.

c) Interpreta la solució.

La solució $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ representa el nombre d’unitats de cada producte que poden ser produïdes, respectant les hores disponibles per a les màquines. Concretament:

• $x$ indica el nombre d’unitats del producte A.
• $y$ indica el nombre d’unitats del producte B.
• $z$ indica el nombre d’unitats del producte C.

Si la solució és $X = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$, per exemple, això voldria dir que l’empresa pot produir $4$ unitats del producte $A$, $5$ unitats del producte $B$ i $6$ unitats del producte $C$ respectant les limitacions d’hores de les màquines.