Càlcul amplitud, període i freqüència angular de mhs

Una partícula fa un moviment harmònic simple sobre una línia recta i té velocitats de $9$ cm/s i $2$ cm/s quan es troba a $4$ cm i $6$ cm, respectivament, de la posició d’equilibri. Calculeu l’amplitud, el període, la freqüència angular i l’acceleració màxima del moviment.

En un moviment harmònic simple (MHS), la posició de la partícula es pot expressar com: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi$

on:

• $A$ és l’amplitud,
• $\omega$ és la freqüència angular,
• $\phi$ és la fase inicial.

1. Relació entre velocitat i posició en un MHS

La velocitat en un moviment harmònic simple ve donada per: $v = \pm \omega \sqrt{A^2 – x^2}$

on $x$ és la posició en un moment determinat.

Se’ns donen dues condicions:

• Quan $x = 4$ cm, $v = 9$ cm/s
• Quan $x = 6$ cm, $v = 2$ cm/s

2. Determinació de l’amplitud $A$

Substituint les dades donades en la fórmula:

\begin{equation}
9 = \omega \sqrt{A^2 – 4^2}
\end{equation}

\begin{equation}
2 = \omega \sqrt{A^2 – 6^2}
\end{equation}

Elevant al quadrat:

\begin{equation}
81 = \omega^2 (A^2 – 16)
\end{equation}

\begin{equation}
4 = \omega^2 (A^2 – 36)
\end{equation}

Dividint la primera equació per la segona:

\begin{equation}
\frac{81}{4} = \frac{A^2 – 16}{A^2 – 36}
\end{equation}

Multiplicant en creu:

\begin{equation}
81(A^2 – 36) = 4(A^2 – 16)
\end{equation}

\begin{equation}
81A^2 – 2916 = 4A^2 – 64
\end{equation}

\begin{equation}
81A^2 – 4A^2 = 2916 – 64
\end{equation}

\begin{equation}
77A^2 = 2852
\end{equation}

\begin{equation}
A^2 = \frac{2852}{77} = 37.05
\end{equation}

\begin{equation}
A \approx 6.09 \text{ cm}
\end{equation}

3. Determinació de la freqüència angular $\omega$

Utilitzem la primera equació per determinar $\omega$:

\begin{equation}
81 = \omega^2 (37.05 – 16)
\end{equation}

\begin{equation}
\omega^2 = \frac{81}{21.05}
\end{equation}

\begin{equation}
\omega \approx \sqrt{3.85} = 1.96 \text{ rad/s}
\end{equation}

4. Càlcul del període $T$

El període està relacionat amb $\omega$ com:

\begin{equation}
T = \frac{2\pi}{\omega}
\end{equation}

\begin{equation}
T = \frac{2\pi}{1.96} \approx 3.2 \text{ s}
\end{equation}

5. Càlcul de l’acceleració màxima

L’acceleració en un MHS ve donada per:

\begin{equation}
a = -\omega^2 x
\end{equation}

La màxima acceleració ocorre quan $x = A$, per tant:

\begin{equation}
a_{\text{max}} = \omega^2 A
\end{equation}

\begin{equation}
a_{\text{max}} = (1.96)^2 (6.09)
\end{equation}

\begin{equation}
a_{\text{max}} \approx 23.4 \text{ cm/s}^2
\end{equation}

Resum de resultats

• Amplitud: $A \approx 6.09$ cm
• Frequència angular: $\omega \approx 1.96$ rad/s
• Període: $T \approx 3.2$ s
• Acceleració màxima: $a_{\text{max}} \approx 23.4$ cm/s²