Càlcul altura d’un tetraedre

Per calcular l’altura d’un tetraedre regular, primer recordem que un tetraedre regular té quatre cares que són triangles equilàters, i volem trobar l’altura des d’un dels seus vèrtexs fins al centre de la base (una de les cares).

Suposem que la longitud de les arestes del tetraedre és $a$. Aquí tens els passos detallats per calcular l’altura d’un tetraedre regular:

1. Determinació de la base del tetraedre:

La base del tetraedre és un triangle equilàter. Sabem que l’altura d’un triangle equilàter de costat $a$ ve donada per la fórmula:
$$h_{\text{triangle}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

Aquesta altura és la distància des de qualsevol vèrtex del triangle fins al centre de la base del triangle equilàter.

2. Trobar la projecció del vèrtex superior al pla de la base:

La projecció del vèrtex superior del tetraedre sobre la base és el baricentre del triangle equilàter que forma la base. El baricentre d’un triangle equilàter divideix l’altura en dues parts: una de les parts és una tercera part de l’altura del triangle, i l’altra part són dues terceres parts. Així doncs, la distància des del centre del triangle (baricentre) fins a un vèrtex de la base és:
$$d_{\text{baricentre}} = \frac{2}{3} h_{\text{triangle}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{3} a$$

3. Aplicació del teorema de Pitàgores:

Ara considerem un triangle format per l’altura del tetraedre, la distància del baricentre a un dels vèrtexs de la base (calculada a l’anterior pas) i una aresta del tetraedre. Aquest triangle és rectangle, amb l’altura del tetraedre com la hipotenusa.

El teorema de Pitàgores ens permet escriure la relació entre l’altura ( h_{\text{tetraedre}} ) i la longitud d’una aresta $a$:
$$h_{\text{tetraedre}}^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{3} a \right)^2 = a^2$$

4. Resolució de l’equació:

Resolem per $h_{\text{tetraedre}}$. Primer simplifiquem l’equació:
$$h_{\text{tetraedre}}^2 + \frac{3}{9} a^2 = a^2$$
$$h_{\text{tetraedre}}^2 + \frac{1}{3} a^2 = a^2$$
$$h_{\text{tetraedre}}^2 = a^2 – \frac{1}{3} a^2 = \frac{2}{3} a^2$$

Ara prenem l’arrel quadrada d’ambdós costats:
$$h_{\text{tetraedre}} = \sqrt{\frac{2}{3}} a = \frac{\sqrt{6}}{3} a$$

Conclusió:

L’altura d’un tetraedre regular de costat $a$ és:
$$h_{\text{tetraedre}} = \frac{\sqrt{6}}{3} a$$