Blat de moro, farina i peix

Un pagès barreja blat de moro, farina de peix i pinso per crear la dieta setmanal amb què alimentarà el seu aviram. Cada setmana, la dieta ha de contenir 3 unitats de ferro, 4 unitats de vitamines i 3 unitats de calci. Cada kilogram de blat de moro dona 2 unitats de ferro, 1 unitat de vitamines i 1 unitat de calci; cada kilogram de farina de peix proporciona 3 unitats de ferro i 3 unitats de vitamines; cada kilogram de pinso aporta 1 unitat de ferro, 2 unitats de vitamines i 2 unitats de calci. a) Determineu la composició setmanal de la dieta. b) Justifiqueu que, en la situació descrita, no és possible dissenyar una dieta amb un contingut de 3 unitats de ferro, 4 unitats de vitamines i 4,5 unitats de calci.

Resumirem la informació en una taula o matriu:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{Moresc} & \textbf{Farina de peix} & \textbf{Pinso} & \textbf{Necessitats} \\
\hline
Ferro & 2 & 3 & 1 & 3 \\
Vitamines & 1 & 3 & 2 & 4 \\
Calci & 1 & 0 & 2 & 3 \\
\hline
\end{array}$$

Anomenem $x, y, z$ els Kg de moresc, farina de peix i pinso que componen, respectivament, la dieta setmanal.
El sistema d’equacions resulta ser:

$$\begin{cases}
2x + 3y + z = 3 \\
x + 3y + 2z = 4 \\
x + 0y + 2z = 3
\end{cases}$$

Combinant la segona i tercera equacions es té:

$$(x + 3y + 2z) – (x + 2z) = 4 – 3$$

$$3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$$

i es dedueix que hi ha $\frac{1}{3}$ Kg de farina de peix.

La primera i tercera equacions s’expressen com:

$$(2x + 3y + z) – (x + 2z) = 3 – 3$$

$$x + 3y – z = 0$$

Substituint $y = \frac{1}{3}$:

$$x + 3 \cdot \frac{1}{3} – z = 0$$

$$x + 1 – z = 0 \Rightarrow x = z – 1$$

Combinem amb la tercera equació:

$$(z – 1) + 2z = 3$$

$$3z – 1 = 3$$

$$3z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{3}$$

Finalment, substituïm $z$ a $x = z – 1$:

$$x = \frac{4}{3} – 1 = \frac{1}{3}$$

Per tant, la dieta setmanal és de:

$$x = \frac{1}{3}, \quad y = \frac{1}{3}, \quad z = \frac{4}{3}$$

En total, la dieta setmanal és de $2$ Kg.

b) En el cas que augmentessin les necessitats setmanals de calci, el sistema s’escriuria:

$$\begin{cases}
2x + 3y + z = 3 \\
x + 3y + 2z = 4 \\
x + 0y + 2z = c
\end{cases}$$

Combinant la segona i tercera equacions es té:

$$(x + 3y + 2z) – (x + 2z) = 4 – c$$

$$3y = 4 – c \Rightarrow y = \frac{4 – c}{3}$$

Si $c > 4$, el valor de $y$ seria negatiu, la qual cosa no té sentit al tractar-se de Kg de farina de peix.