Probabilitat i diabetis

Una prova diagnòstica per a la diabetis consisteix en mesurar el nivell de glucosa a la sang. En principi, classificarem com a diabètiques les persones on el nivell de glucosa superi el valor límit de 110 mg/dl. S’ha determinat que la sensibilitat d’aquesta prova (taxa d’encert sobre malalts)és del 94,5% i la seva especificitat (taxa d’encert sobre sans) és del 97,7%. Atès que es pot considerar que la diabetis afecta el 3% dels individus, determineu la probabilitat d’error d’aquesta prova.

Per calcular la probabilitat d’error d’aquesta prova diagnòstica, analitzem els possibles errors:

• Falsos positius (FP): persones sanes diagnosticades incorrectament com a diabètiques.
• Falsos negatius (FN): persones malaltes diagnosticades incorrectament com a sanes.

Utilitzarem el teorema de Bayes i la informació donada:

• Sensibilitat ($S$) = 94,5% → Probabilitat que un malalt doni positiu: $P(\text{Positiu} | \text{Malalt}) = 0.945$
• Especificitat ($E$) = 97,7% → Probabilitat que un sa doni negatiu: $P(\text{Negatiu} | \text{Sa}) = 0.977$ Per tant, la probabilitat de fals positiu és: $P(\text{Positiu} | \text{Sa}) = 1 – 0.977 = 0.023$
• Prevalença de la diabetis ($P(M)$) = 3% = 0.03
  Per tant, la probabilitat de no tenir diabetis és: $P(S) = 1 – P(M) = 1 – 0.03 = 0.97$

1. Probabilitat total de resultat positiu

Utilitzem la fórmula de la probabilitat total per a calcular la probabilitat de resultat positiu:
$$P(\text{Positiu}) = P(\text{Positiu} | \text{Malalt}) P(\text{Malalt}) + P(\text{Positiu} | \text{Sa}) P(\text{Sa})$$
Substituïm els valors coneguts:
$$P(\text{Positiu}) = (0.945 \times 0.03) + (0.023 \times 0.97) = 0.02835 + 0.02231 = 0.05066$$

2. Probabilitat de ser sa donat un resultat positiu (fals positiu)

Ara utilitzem el teorema de Bayes per calcular la probabilitat de ser sa si el resultat és positiu:
$$P(\text{Sa} | \text{Positiu}) = \frac{P(\text{Positiu} | \text{Sa}) P(\text{Sa})}{P(\text{Positiu})}$$
Substituïm els valors:
$$P(\text{Sa} | \text{Positiu}) = \frac{(0.023 \times 0.97)}{0.05066} = \frac{0.02231}{0.05066} \approx 0.4403$$
Això vol dir que, si una persona dóna positiu, hi ha un $44,03\%$ de probabilitat que sigui un fals positiu.

3. Probabilitat de ser malalt donat un resultat negatiu (fals negatiu)

Ara calculem la probabilitat de ser malalt donat un resultat negatiu:
$$P(\text{Negatiu}) = P(\text{Negatiu} | \text{Malalt}) P(\text{Malalt}) + P(\text{Negatiu} | \text{Sa}) P(\text{Sa})$$
$$P(\text{Negatiu}) = (1 – 0.945) \times 0.03 + 0.977 \times 0.97 = 0.00165 + 0.94769 = 0.94934$$
Després, aplicarem Bayes per a calcular la probabilitat de ser malalt si dóna negatiu:
$$P(\text{Malalt} | \text{Negatiu}) = \frac{P(\text{Negatiu} | \text{Malalt}) P(\text{Malalt})}{P(\text{Negatiu})}$$
$$P(\text{Malalt} | \text{Negatiu}) = \frac{(1 – 0.945) \times 0.03}{0.94934} = \frac{0.00165}{0.94934} \approx 0.00174$$
Això vol dir que, si una persona dona negatiu, hi ha només un 0,174% de probabilitat que sigui un fals negatiu.

4. Probabilitat d’error total

L’error total de la prova inclou tant els falsos positius com els falsos negatius:
$$P(\text{Error}) = P(\text{Fals Positiu}) + P(\text{Fals Negatiu})$$
$$P(\text{Error}) = P(\text{Sa} | \text{Positiu}) P(\text{Positiu}) + P(\text{Malalt} | \text{Negatiu}) P(\text{Negatiu})$$
$$P(\text{Error}) = (0.4403 \times 0.05066) + (0.00174 \times 0.94934) = 0.0223 + 0.00165 = 0.02395$$

És a dir, la probabilitat total d’error d’aquesta prova és d’un 2,395%.