Discussió sistema d’equacions

Discutiu i resoleu, quan es pugui, el sistema següent: \[\begin{cases}x + y + kz = 1 \\kx + (k-1)y + z = k \\x + y + z = k + 1\end{cases}\]

Utilitzarem el mètode de Gauss: \[\begin{pmatrix}1 & 1 & k & | & 1 \\k & k-1 & 1 & | & k \\1 & 1 & 1 & | & k+1\end{pmatrix}\]\[(1a) \rightarrow (1a)\]\[(2a) – k \cdot (1a) \rightarrow (2a)\]\[(3a) – (1a) \rightarrow (3a)\]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & k & | & 1 \\0 & -1 & 1-k^2 & | & 0 \\0 & 0 & 1-k & | & k\end{pmatrix}\]- Si \( k = 1 \), la darrera fila és \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} \). El sistema és incompatible.- Si \( k \neq 1 \), aleshores \( z = \frac{k}{1-k} \), \( y = (1-k^2) \frac{k}{1-k} = k^2 + k \),\[x = \frac{k^3 – k^2 – 2k + 1}{1-k}\] És a dir, per a qualsevol \( k \neq 1 \), el sistema és compatible, determinant.

Solució: \[\left( \frac{k^3 – k^2 – 2k + 1}{1-k}, k^2 + k, \frac{k}{1-k} \right)\]

ATENCIÓ: No hi ha infinites solucions sinó infinits sistemes, un per a cada valor de \( k \). I cada un d’aquests té solució única, excepte el corresponent a \( k = 1 \), que no té solució. Per exemple, per a \( k = 2 \), el sistema és: \[\begin{cases}x + y + 2z = 1 \\2x + y + z = 2 \\x + y + z = 3\end{cases}\]**La solució és:** \( x = -1 \), \( y = 6 \), \( z = -2 \)