Discussió sistema d’equacions

El sistema d’equacions és:\[\begin{cases}(a + 1)x + y + z = a^2 + 3a \\x + (a + 1)y + z = a^3 + 3a^2 \\x + y + (a + 1)z = a^4 + 3a^3\end{cases}\] a) Estudi del sistema segons els valors del paràmetre \( a \) b) Resolució per al cas \( a = -3 \)

a) Estudi del sistema segons els valors del paràmetre \( a \)

Pas 1: Escrivim el sistema en forma matricial. El sistema es pot escriure com \( A \vec{x} = \vec{b} \), on:\[A = \begin{pmatrix}a + 1 & 1 & 1 \\1 & a + 1 & 1 \\1 & 1 & a + 1\end{pmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} a^2 + 3a \\ a^3 + 3a^2 \\ a^4 + 3a^3 \end{pmatrix}\]

Pas 2: Calculem el determinant de \( A \). Calculem \( \det(A) \):\[\det(A) = \begin{vmatrix}a + 1 & 1 & 1 \\1 & a + 1 & 1 \\1 & 1 & a + 1\end{vmatrix}\]Desenvolupem per la primera fila:\[\det(A) = (a + 1) \begin{vmatrix} a + 1 & 1 \\ 1 & a + 1 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a + 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a + 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\]- Primer terme: \( (a + 1)(a + 1) – 1 \cdot 1 = (a + 1)^2 – 1 = a^2 + 2a + 1 – 1 = a^2 + 2a \)- Segon terme: \( 1(a + 1) – 1 \cdot 1 = a + 1 – 1 = a \)- Tercer terme: \( 1 \cdot 1 – (a + 1) \cdot 1 = 1 – (a + 1) = -a \)\[\det(A) = (a + 1)(a^2 + 2a) – a – (-a) = (a + 1)(a^2 + 2a) = a(a + 1)(a + 2)\]

Pas 3: Analitzem els casos segons \( \det(A) \). El sistema tindrà solució única si \( \det(A) \neq 0 \), i pot no tenir solució o tenir infinites solucions si \( \det(A) = 0 \).- \( \det(A) = a(a + 1)(a + 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0, \ a = -1, \ a = -2 \)

Cas 1: \( a \neq 0, -1, -2 \) (solució única)Si \( \det(A) \neq 0 \), el sistema té una solució única per a qualsevol \( \vec{b} \), que es pot trobar mitjançant la regla de Cramer o inversió de la matriu.

Cas 2: \( a = 0 \). Substituïm \( a = 0 \):\[\begin{cases}x + y + z = 0 \\x + y + z = 0 \\x + y + z = 0\end{cases}\]Totes les equacions són idèntiques: \( x + y + z = 0 \). Això indica un sistema compatible indeterminat amb infinites solucions:\[z = t, \quad y = s, \quad x = -y – z = -s – t, \quad s, t \in \mathbb{R}\]

Cas 3: \( a = -1 \). Substituïm \( a = -1 \):\[\begin{cases}0 \cdot x + y + z = 1 – 3 = -2 \\x + 0 \cdot y + z = -1 + 3 = 2 \\x + y + 0 \cdot z = 1 – 3 = -2\end{cases}\]\[\begin{cases}y + z = -2 \quad (1) \\x + z = 2 \quad (2) \\x + y = -2 \quad (3)\end{cases}\]Restem (3) – (2):\[(x + y) – (x + z) = -2 – 2 \quad \Rightarrow \quad y – z = -4 \quad (4)\]Sumem (1) + (4):\[(y + z) + (y – z) = -2 – 4 \quad \Rightarrow \quad 2y = -6 \quad \Rightarrow \quad y = -3\]De (1): \( -3 + z = -2 \quad \Rightarrow \quad z = 1 \)De (2): \( x + 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \)Solució: \( (x, y, z) = (1, -3, 1) \). Comprovem que \( \det(A) = 0 \), però el sistema és compatible determinat.

Cas 4: \( a = -2 \). Substituïm \( a = -2 \):\[\begin{cases}-x + y + z = 4 – 6 = -2 \\x – y + z = -8 + 12 = 4 \\x + y – z = 16 – 24 = -8\end{cases}\]Sumem (1) + (2):\[(-x + y + z) + (x – y + z) = -2 + 4 \quad \Rightarrow \quad 2z = 2 \quad \Rightarrow \quad z = 1\]Substituïm \( z = 1 \) a (1):\[-x + y + 1 = -2 \quad \Rightarrow \quad -x + y = -3 \quad (4)\]Substituïm \( z = 1 \) a (3):\[x + y – 1 = -8 \quad \Rightarrow \quad x + y = -7 \quad (5)\]Sumem (4) + (5):\[(-x + y) + (x + y) = -3 – 7 \quad \Rightarrow \quad 2y = -10 \quad \Rightarrow \quad y = -5\]De (4): \( -x – 5 = -3 \quad \Rightarrow \quad -x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \)

Solució: \( (x, y, z) = (-2, -5, 1) \). El sistema és compatible determinat.

b) Resolució per al cas \( a = -3 \)

Substituïm \( a = -3 \):\[\begin{cases}-2x + y + z = 9 – 9 = 0 \\x – 2y + z = -27 + 27 = 0 \\x + y – 2z = 81 – 81 = 0\end{cases}\]\[\begin{cases}-2x + y + z = 0 \quad (1) \\x – 2y + z = 0 \quad (2) \\x + y – 2z = 0 \quad (3)\end{cases}\]Restem (2) – (1):\[(x – 2y + z) – (-2x + y + z) = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x – 3y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = y \quad (4)\]Substituïm \( x = y \) a (3):\[x + x – 2z = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x – 2z = 0 \quad \Rightarrow \quad x = z \quad (5)\]Per tant, \( x = y = z \). Substituïm a (1):\[-2x + x + x = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0\]El sistema és compatible indeterminat:\[x = y = z = t, \quad t \in \mathbb{R}\]

Solució: \( (x, y, z) = (t, t, t) \), \( t \in \mathbb{R} \).

Resposta final:

a) El sistema té:- Solució única si \( a \neq 0, -1, -2 \).- Infinites solucions si \( a = 0 \): \( (x, y, z) = (-s – t, s, t) \), \( s, t \in \mathbb{R} \).

– Solució única si \( a = -1 \): \( (1, -3, 1) \).

– Solució única si \( a = -2 \): \( (-2, -5, 1) \).

b) Per \( a = -3 \), el sistema té infinites solucions: \( (x, y, z) = (t, t, t) \), \( t \in \mathbb{R} \).