Determinació del Centre i Radi d’una Circumferència Tangent a una Recta

Determina el centre i el radi de la circumferència que passa per l’origen de coordenades, té el centre en el semiplà positiu de les abscisses i és tangent a la recta d’equació \( x + y = 1 \).

El centre serà de la forma \( C(a, 0) \) amb \( a > 0 \) i la seva equació serà \( Ci: (x – a)^2 + y^2 = r^2 \).Com que passa per \( O(0, 0) \), \( (0 – a)^2 + 0^2 = r^2 \); i com que \( a > 0 \), resulta que \( r = a \).Com que és tangent a \( r: x + y = 1 \), el radi serà \( r = a = \text{dist}(C, r) = \frac{|a + 0 – 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|a – 1|}{\sqrt{2}} \). Llavors, \( |a – 1| = a \sqrt{2} \):\[\begin{cases} a – 1 = a \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a – a \sqrt{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a(1 – \sqrt{2}) = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{1 – \sqrt{2}} \quad \text{(impossible, perquè ha de ser } a > 0\text{)} \\a – 1 = -a \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a + a \sqrt{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a(1 + \sqrt{2}) = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1} = \sqrt{2} – 1\end{cases}\] Per tant, el centre és \( C(\sqrt{2} – 1, 0) \) i el radi és \( r = \sqrt{2} – 1 \).