Intersecció perpendicular de rectes: determinació de a i b

Considera els punts \( A(1, 0, 3) \), \( B(3, -1, 0) \), \( C(0, -1, 2) \) i \( D(a, b, -1) \). Troba \( a \) i \( b \) sabent que la recta que passa per \( A \) i \( B \) talla perpendicularment la recta que passa per \( C \) i \( D \).

La recta \( r \) que passa per \( A \) i \( B \) té vector director \( \vec{d_r} = \vec{BA} = (-2, 1, 3) \).La recta \( s \) que passa per \( C \) i \( D \) té vector director \( \vec{d_s} = \vec{CD} = (a, b + 1, -3) \).Perquè es tallin ha de ser \( \det(\vec{CA}, \vec{d_r}, \vec{d_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ a & b + 1 & -3 \end{vmatrix} = 0 \) perquè si fos no nul, \( r \) i \( s \) es creuarien. Desenvolupant, \( -3 + 3a – 2b – 2 – a – 6 – 3b – 3 = 0 \); \( 2a – 5b = 14 \).Com també han de ser perpendiculars, \( \vec{d_r} \cdot \vec{d_s} = 0 \). Efectuant, \( -2a + b + 1 – 9 = 0 \); \( -2a + b = 8 \).Ens queda el sistema \( \begin{cases} 2a – 5b = 14 \\ -2a + b = 8 \end{cases} \). Sumant les equacions, \( -4b = 22 \), \( b = -\frac{11}{2} \).Multiplicant per 5 la 2a equació, \( \begin{cases} 2a – 5b = 14 \\ -10a + 5b = 40 \end{cases} \). Sumant les equacions, \( -8a = 54 \), \( a = -\frac{27}{4} \).