Equació del pla

Troba l’equació del pla que passa per el punt \( A(1, 0, -1) \), és perpendicular al pla \( x – y + 2z + 1 = 0 \) i és paral·lel a la recta \( \begin{cases} x – 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \).

Si \( r: \begin{cases} x – 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \), \( \vec{d_r} = (1, -2, 0) \times (0, 0, 1) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-2, -1, 0) // (2, 1, 0) \).Un vector normal del pla \( \pi: x – y + 2z + 1 = 0 \) és \( \vec{n_\pi} = (1, -1, 2) \).Com que \( \vec{d_r} \) i \( \vec{n_\pi} \) són vectors directors del pla \( \alpha \) que es demana, un vector normal d’aquest és:\[\vec{n_\alpha} = \vec{d_r} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (2, -4, -3) // (-2, 4, 3)\]I com que \( \alpha \) passa per \( A(1, 0, -1) \Rightarrow \alpha: -2(x – 1) + 4(y – 0) + 3(z + 1) = 0 \Rightarrow \alpha: -2x + 4y + 3z + 5 = 0 \).