Problema 5 Examen de matemàtiques CCSS 18 de juny de 2020

Considereu una funció $f(x)$ que té com a primera derivada $f'(x) = 2x^2 + bx + 4$, en què $b$ és un paràmetre real. a) Determineu el valor de $b$ perquè $f(x)$ tingui un extrem relatiu en $x = –1$ i raoneu si es tracta d’un màxim o d’un mínim. b) Si sabem que la gràfica de la funció $f(x)$ passa pel punt $(0, 3)$, trobeu l’equació de la recta tangent a $f(x)$ en aquest punt.

a) Sabem que a \( x = -1 \) hi ha un extrem relatiu; per tant, \( f'(-1) = 0 \). D’altra banda, \( f'(-1) = 2 – b + 4 = -b + 6 \), i, consegüentment, trobem que \( b = 6 \).Per tant, tenim que \( f'(x) = 2x^2 + 6x + 4 \). Si estudiem on és positiva i on és negativa la funció \( f'(x) \), obtenim que és positiva en els intervals \( (-\infty, -2) \) i \( (-1, +\infty) \), mentre que és negativa a l’interval \( (-2, -1) \). Per tant, a \( x = -1 \) hi ha un mínim relatiu.

b) El pendent de la recta buscada és \( f'(0) \). Sabem que \( f'(x) = 2x^2 + bx + 4 \), i, per tant, \( f'(0) = 4 \).La recta tangent en el punt \( (0, 3) \) és \( y – 3 = 4(x – 0) \), és a dir, \( y = 4x + 3 \).