Moviment d’una esfera en medis diferents

Des d’un punt situat a una alçada de 10 m sobre la superfície d’un estany ple d’aigua i de profunditat 5 m, es deixa caure una esfera de 0,2 cm de radi i de densitat 7,5. Calcular: 1r) El temps que triga a arribar al fons de l’estany. 2n) L’energia cinètica amb què arriba al fons. No es tenen en compte els fregaments.

El moviment de l’esfera té lloc en dos medis: En el primer, l’acceleració de caiguda és \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \) i la velocitat inicial és nul·la. La velocitat en recórrer els 10 m serà: \[v = \sqrt{2 g h} = 14 \, \text{m/s}\]

i serà la velocitat amb què es introduirà a l’aigua de l’estany.En l’aigua actuen dues forces sobre l’esfera: el seu pes i l’empenta del líquid; el primer actua cap avall i el segon cap amunt, per la qual cosa la força resultant és:\[F = \text{pes} – \text{empenta}\]Pes de l’esfera = pes específic \(\times\) volum\[= 7,5 \, \text{g/cm}^3 \cdot 980 \, \text{cm/s}^2 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 0,2^3 \, \text{cm}^3 = 246 \, \text{dines}\]Empenta = pes del volum de líquid desallotjat\[= 1 \, \text{g/cm}^3 \cdot 980 \, \text{cm/s}^2 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 0,2^3 \, \text{cm}^3 = 32,8 \, \text{dines}\]\[F = 213 \, \text{dines}\] L’acceleració amb què es mourà l’esfera és:\[a = \frac{F}{m} = \frac{213}{0,25} = 849 \, \text{cm/s}^2\]La velocitat amb què arribarà al fons de l’estany serà:\[v^2 – v_0^2 = 2 a e\]\[v^2 – 14^2 = 2 \cdot 8,49 \cdot 5\]\[v = 16,8 \, \text{m/s}\]$\textbf{1r)}$ Des de què se solta l’esfera fins que ha arribat al fons de l’estany ha transcorregut el temps:A l’aire:\[g = \frac{v – v_0}{t_1}\]A l’aigua:\[a = \frac{v_f – v}{t_2}\] \[t = t_1 + t_2 = \frac{14}{9,8} + \frac{16,8 – 14}{8,49} =\]\[= 1,43 + 0,32 = 1,75 \, \text{s}\]$\textbf{2n)}$ L’energia cinètica amb què l’esfera arriba al fons és:\[E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{0,25}{10^3} \cdot 16,8^2 = 0,04 \, \text{J}\]