Discussió d’un sistema d’equacions segons valor del paràmetre

a) Discutiu per a quins valors de \( m \) el sistema següent és compatible:\[\begin{cases}4x + my + z = m + 2, \\x + y + mz = -2(m + 1), \\4x + y + z = m.\end{cases}\] b) Resoleu-lo en el cas en què \( m = 0 \).

a) La matriu del sistema és:\[\begin{pmatrix}4 & m & 1 \\1 & 1 & m \\4 & 1 & 1\end{pmatrix}.\] Estudiem quan el determinant del sistema anterior s’anul·la. El determinant de la matriu anterior val:\[4m^2 – 5m + 1.\]El determinant serà nul per a \( m = \frac{1}{4}, 1 \).Si \( m \neq \frac{1}{4}, 1 \), el rang de la matriu del sistema serà 3, el màxim que el rang de la matriu ampliada. Per tant, el sistema serà compatible.Si \( m = \frac{1}{4} \), el sistema serà:\[\begin{cases}4x + \frac{1}{4}y + z = \frac{9}{4}, \\x + y + \frac{1}{4}z = -\frac{5}{2}, \\4x + y + z = \frac{1}{4}.\end{cases}\] El rang del sistema serà 2, ja que, per exemple, el menor \( \begin{vmatrix} \frac{1}{4} & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{15}{4} \neq 0 \), és diferent de zero. El rang de la matriu ampliada serà 3, ja que el determinant següent és diferent de zero:\[\begin{vmatrix}\frac{1}{4} & 1 & \frac{9}{4} \\1 & \frac{1}{4} & -\frac{5}{2} \\1 & 1 & \frac{1}{4}\end{vmatrix} = -\frac{27}{64} \neq 0.\]Per tant, es tractaria d’un sistema incompatible.

Si \( m = 1 \), el sistema serà:\[\begin{cases}4x + y + z = 3, \\x + y + z = -3, \\4x + y + z = 1.\end{cases}\] El rang del sistema serà 2, ja que, per exemple, el menor \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 \), és diferent de zero. El sistema anterior es clarament incompatible ja que la primera i la tercera equació se contradiguen.

b) Hem de resoldre el sistema en el cas en què \( m = 0 \):\[\begin{cases}4x + z = 2, \\x + y = -2, \\4x + y + z = 0.\end{cases}\]. Les solucions del sistema anterior són: \( x = 0, y = -2, z = 2 \).