Investigació de la funció en els extrems

Investigar els extrems de la funció \( f(x, y) = 4x^2 – 5y^2 \) amb la condició \( x^2 + \frac{y^2}{4} = 1 \).

Per trobar els extrems, utilitzem el mètode dels multiplicadors de Lagrange, ja que la funció està subjecta a una restricció.

Pas 1: Formulació de la funció de Lagrange

Restricció: \( g(x, y) = x^2 + \frac{y^2}{4} – 1 = 0 \).Funció de Lagrange:\[\mathcal{L}(x, y, \lambda) = 4x^2 – 5y^2 + \lambda \left( x^2 + \frac{y^2}{4} – 1 \right).\]

Pas 2: Derivades parcials.

Calculem les derivades parcials i les igualem a zero:1. Respecte a \( x \):\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 8x + \lambda \cdot 2x = 2x (4 + \lambda) = 0.\]D’aquí: \( x = 0 \) o \( \lambda = -4 \).2. Respecte a \( y \):\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = -10y + \lambda \cdot \frac{y}{2} = y \left( -10 + \frac{\lambda}{2} \right) = 0.\]D’aquí: \( y = 0 \) o \( \frac{\lambda}{2} = 10 \), és a dir, \( \lambda = 20 \).3. Respecte a \( \lambda \):\[x^2 + \frac{y^2}{4} = 1.\]

Pas 3: Resolució del sistema

Considerem els diferents casos:**Cas 1: \( x = 0 \)** De la restricció:\[\frac{y^2}{4} = 1 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2.\]Comprovem la segona equació: \( y \neq 0 \), per tant:\[-10 + \frac{\lambda}{2} = 0 \implies \lambda = 20.\]Punts: \( (0, 2) \), \( (0, -2) \). Valors de la funció:\[f(0, 2) = -5 \cdot 2^2 = -20, \quad f(0, -2) = -5 \cdot (-2)^2 = -20.\]**Cas 2: \( \lambda = -4 \)** Substituïm a l’equació respecte a \( y \):\[-10 + \frac{-4}{2} = -12 \neq 0 \implies y = 0.\]De la restricció:\[x^2 = 1 \implies x = \pm 1.\]Comprovem: \( 4 + (-4) = 0 \). Punts: \( (1, 0) \), \( (-1, 0) \). Valors de la funció:\[f(1, 0) = 4 \cdot 1^2 = 4, \quad f(-1, 0) = 4.\]**Cas 3: \( y = 0 \)** De la restricció:\[x^2 = 1 \implies x = \pm 1.\]Això coincideix amb els punts \( (1, 0) \), \( (-1, 0) \).**Cas 4: \( \lambda = 20 \)** De l’equació respecte a \( x \):\[4 + 20 = 24 \neq 0 \implies x = 0.\]De la restricció:\[\frac{y^2}{4} = 1 \implies y = \pm 2.\]Això coincideix amb els punts \( (0, 2) \), \( (0, -2) \).

Pas 4: Parametrització per a l’anàlisi

La restricció és una el·lipse. Parametritzem:\[x = \cos \theta, \quad y = 2 \sin \theta.\]Llavors:\[f(\theta) = 4 \cos^2 \theta – 5 (2 \sin \theta)^2 = 4 \cos^2 \theta – 20 \sin^2 \theta = 24 \cos^2 \theta – 20.\]- Màxim quan \( \cos^2 \theta = 1 \): \( f = 4 \) (punts \( (1, 0) \), \( (-1, 0) \)).- Mínim quan \( \cos^2 \theta = 0 \): \( f = -20 \) (punts \( (0, 2) \), \( (0, -2) \)).

Pas 5: Conclusió

La funció té:

• Màxim \( f = 4 \) als punts \( (1, 0) \), \( (-1, 0) \).

• Mínim \( f = -20 \) als punts \( (0, 2) \), \( (0, -2) \).

Resposta:

El màxim de la funció \( f(x, y) = 4x^2 – 5y^2 \) és 4 als punts \( (1, 0) \) i \( (-1, 0) \). El mínim és \(-20\) als punts \( (0, 2) \) i \( (0, -2) \).