Discussió d’un sistema d’equacions segons un paràmetre

Determina per a quins valors de \( k \) el sistema:\[\begin{cases}x + ky – kz = 0 \\12x – (k + 2)y – 2z = 0 \\kx – 2y + z = 0\end{cases}\] té solució única, infinites solucions o cap solució.

Com que és un sistema homogèni (totes les equacions igualades a 0), sempre té la solució trivial \( (x, y, z) = (0, 0, 0) \). La discussió es centra en si hi ha solucions no trivials, cosa que depèn del determinant de la matriu de coeficients.

Pas 1: Representar el sistema en forma matricial. El sistema es pot escriure com \( A \mathbf{x} = \mathbf{0} \), on:- \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \),- La matriu de coeficients \( A \) és:\[A = \begin{pmatrix}1 & k & -k \\12 & -(k + 2) & -2 \\k & -2 & 1\end{pmatrix}\]Com que el sistema és homogèni, si \( \det(A) \neq 0 \), l’única solució és la trivial. Si \( \det(A) = 0 \), hi ha infinites solucions (incloent-hi solucions no trivials).

Pas 2: Calcular el determinant de \( A \). Calculem \( \det(A) \) expandint per la primera fila:\[\det(A) = \begin{vmatrix}1 & k & -k \\12 & -(k + 2) & -2 \\k & -2 & 1\end{vmatrix}\]\[\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}-(k + 2) & -2 \\-2 & 1\end{vmatrix} – k \cdot \begin{vmatrix}12 & -2 \\k & 1\end{vmatrix} + (-k) \cdot \begin{vmatrix}12 & -(k + 2) \\k & -2\end{vmatrix}\]

Primer determinant:\[\begin{vmatrix}-(k + 2) & -2 \\-2 & 1\end{vmatrix} = [-(k + 2)] \cdot 1 – (-2) \cdot (-2) = -(k + 2) – 4 = -k – 6\]

Segon determinant:\[\begin{vmatrix}12 & -2 \\k & 1\end{vmatrix} = 12 \cdot 1 – (-2) \cdot k = 12 + 2k\]

Tercer determinant:\[\begin{vmatrix}12 & -(k + 2) \\k & -2\end{vmatrix} = 12 \cdot (-2) – [-(k + 2)] \cdot k = -24 + (k + 2)k = -24 + k^2 + 2k = k^2 + 2k – 24\]Substituint:\[\det(A) = 1 \cdot (-k – 6) – k \cdot (12 + 2k) + (-k) \cdot (k^2 + 2k – 24)\]\[= (-k – 6) – k(12 + 2k) – k(k^2 + 2k – 24)\]\[= -k – 6 – (12k + 2k^2) – (k^3 + 2k^2 – 24k)\]\[= -k^3 + (-2k^2 – 2k^2) + (-k – 12k + 24k) – 6\]\[= -k^3 – 4k^2 + 11k – 6\]El determinant és:\[\det(A) = -k^3 – 4k^2 + 11k – 6\]

Pas 3: Trobar els valors de \( k \) que fan \( \det(A) = 0 \). Perquè hi hagi infinites solucions, cal que \( \det(A) = 0 \):\[-k^3 – 4k^2 + 11k – 6 = 0\]Multipliquem per \(-1\):\[k^3 + 4k^2 – 11k + 6 = 0\] Busquem les arrels d’aquest polinomi. Provem possibles arrels racionals (\( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)):- Per \( k = 1 \):\[1^3 + 4(1)^2 – 11(1) + 6 = 1 + 4 – 11 + 6 = 0\]\( k = 1 \) és una arrel.Dividim \( k^3 + 4k^2 – 11k + 6 \) entre \( k – 1 \) amb divisió sintètica:\[\begin{array}{r|rrrr}1 & 1 & 4 & -11 & 6 \\ & & 1 & 5 & -6 \\\hline & 1 & 5 & -6 & 0 \\\end{array}\]El quocient és \( k^2 + 5k – 6 \). Resolem:\[k^2 + 5k – 6 = 0\]\[(k + 6)(k – 1) = 0\]\[k = -6 \quad \text{o} \quad k = 1\]Ja teníem \( k = 1 \). Comprovem \( k = -6 \):\[(-6)^3 + 4(-6)^2 – 11(-6) + 6 = -216 + 4(36) + 66 + 6 = -216 + 144 + 66 + 6 = 0\]També és una arrel. Les arrels són \( k = 1 \) (doble arrel) i \( k = -6 \).

Pas 4: Discussió segons els valors de \( k \)

– Si \( k \neq 1 \) i \( k \neq -6 \): \( \det(A) \neq 0 \), per tant, l’única solució del sistema és la trivial \( (x, y, z) = (0, 0, 0) \).

– Si \( k = 1 \): \( \det(A) = 0 \), el sistema té infinites solucions.

– Si \( k = -6 \): \( \det(A) = 0 \), el sistema té infinites solucions.