Resolució sistema d’equacions pel mètode de Gauss

El sistema és:\[\begin{cases}x + y + 2z = 10 \\2x + 3y – z = 7 \\6x – y = 10\end{cases}\]

Pas 1: Matriu augmentada \[\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & | & 10 \\2 & 3 & -1 & | & 7 \\6 & -1 & 0 & | & 10\end{bmatrix}\]

Pas 2: Forma escalonada (eliminació cap avall)

– Fila 2: \(F_2 \gets F_2 – 2F_1\)

– Fila 3: \(F_3 \gets F_3 – 6F_1\)\[\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & | & 10 \\0 & 1 & -5 & | & -13 \\0 & -7 & -12 & | & -50\end{bmatrix}\]

– Fila 3: \(F_3 \gets F_3 + 7F_2\)\[\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & | & 10 \\0 & 1 & -5 & | & -13 \\0 & 0 & -47 & | & -141\end{bmatrix}\]

Pas 3: Substitució cap amunt. Ara resoldrem les variables \(z\), \(y\) i \(x\) a partir de la matriu escalonada, anant de baix a dalt.

– Fila 3: Aïllem \(z\). \[ 0x + 0y – 47z = -141 \] \[ -47z = -141 \implies z = \frac{-141}{-47} = 3 \]

– Fila 2: Aïllem \(y\), usant el valor de \(z = 3\). \[ 0x + 1y – 5z = -13 \] Substituïm \(z\): \[ y – 5(3) = -13 \] \[ y – 15 = -13 \implies y = -13 + 15 = 2 \]

– Fila 1: Aïllem \(x\), usant els valors de \(y = 2\) i \(z = 3\). \[ 1x + 1y + 2z = 10 \] Substituïm \(y\) i \(z\): \[ x + 2 + 2(3) = 10 \] \[ x + 2 + 6 = 10 \implies x + 8 = 10 \implies x = 10 – 8 = 2 \]

Resposta final:\[\boxed{x = 2, \quad y = 2, \quad z = 3}\]