Anàlisi i Resolució d’un Sistema d’Equacions amb Paràmetre a

a) Discutiu el sistema següent segons els valors del paràmetre \(a\):\[\begin{cases}x – 2y + z = a^2 \\(2 – a)x + (2a – 4)y + (4 – 2a)z = 5 \\(a + 1)x – (a + 1)y + (a + 1)z = a + 1\end{cases}\]b) Resoleu el sistema per \(a = 0\), en cas que tingui solució.

a) Discussió del sistema segons els valors del paràmetre \(a\) Tenim el sistema següent:\[\begin{cases}x – 2y + z = a^2 \\(2 – a)x + (2a – 4)y + (4 – 2a)z = 5 \\(a + 1)x – (a + 1)y + (a + 1)z = a + 1\end{cases}\]Per discutir el sistema, utilitzarem el mètode de Gauss per formar la matriu augmentada i analitzar el rang segons els valors de \(a\).

Matriu augmentada:\[\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & | & a^2 \\(2 – a) & (2a – 4) & (4 – 2a) & | & 5 \\(a + 1) & -(a + 1) & (a + 1) & | & (a + 1)\end{pmatrix}\]

Passos per reduir la matriu:

1. Simplifiquem la tercera fila: Observem que tots els coeficients de la tercera equació (\(a + 1\)) es poden factoritzar: \[ (a + 1)(x – y + z) = (a + 1) \implies x – y + z = 1 \quad (\text{si } a \neq -1) \] Si \(a = -1\), la tercera equació esdevé \(0 = 0\), i el sistema es redueix a només dues equacions.

2. Cas \(a \neq -1\): Dividim la tercera fila per \(a + 1\): \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & a^2 \\ (2 – a) & (2a – 4) & (4 – 2a) & | & 5 \\ 1 & -1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \]

• Fila 1 – Fila 3: \[ (1 – 1, -2 – (-1), 1 – 1 | a^2 – 1) \implies (0, -1, 0 | a^2 – 1) \] \[ -y = a^2 – 1 \implies y = 1 – a^2 \]

• Fila 2 – (2 – a) * Fila 3: \[ (2 – a – (2 – a), (2a – 4) – (2 – a)(-1), (4 – 2a) – (2 – a)(1) | 5 – (2 – a)(1)) \] \[ (0, (2a – 4) + (2 – a), (4 – 2a) – (2 – a) | 5 – (2 – a)) \] \[ (0, (2a – 4 + 2 – a), (4 – 2a – 2 + a) | (5 – 2 + a)) \] \[ (0, (a – 2), (2 – a) | (3 + a)) \] \[ (a – 2)y + (2 – a)z = (3 + a) \] Substituïm \(y = 1 – a^2\): \[ (a – 2)(1 – a^2) + (2 – a)z = (3 + a) \] \[ (a – 2 – a^3 + 2a^2) + (2 – a)z = (3 + a) \] \[ (-a^3 + 2a^2 + a – 2) + (2 – a)z = (3 + a) \] \[ (2 – a)z = (3 + a) + (a^3 – 2a^2 – a + 2) \] \[ (2 – a)z = (a^3 – 2a^2 + 5) \] \[ z = \frac{a^3 – 2a^2 + 5}{2 – a} \quad (\text{si } a \neq 2) \]
• Si \(a = 2\): \[ a^3 – 2a^2 + 5 = 8 – 8 + 5 = 5 \] \[ 2 – a = 0 \implies \text{contradicció si el numerador no és 0, però com és 5, el sistema pot ser inconsistent.} \] Tornem a analitzar amb \(a = 2\): \[ y = 1 – a^2 = 1 – 4 = -3 \] Segona equació: \(0x + 0y + 0z = 5\), inconsistent (\(0 \neq 5\)).

Per \(a = 2\), el sistema no té solució.

• Si \(a \neq 2\): \[ z = \frac{a^3 – 2a^2 + 5}{2 – a} \] De la tercera equació: \(x – y + z = 1\) \[ x = 1 + y – z = 1 + (1 – a^2) – \frac{a^3 – 2a^2 + 5}{2 – a} \]

3. Cas \(a = -1\): La tercera equació esdevé \(0 = 0\). Queden dues equacions: \[ \begin{cases} x – 2y + z = 1 \\ 3x – 6y + 6z = 5 \end{cases} \] La segona es pot dividir per 3: \(x – 2y + 2z = \frac{5}{3}\).

• Restem la primera equació de la segona: \[ (x – 2y + 2z) – (x – 2y + z) = \frac{5}{3} – 1 \] \[ z = \frac{\frac{5}{3} – 1}{1} = \frac{\frac{2}{3}}{1} = \frac{2}{3} \]

• Substituïm \(z = \frac{2}{3}\) a la primera: \[ x – 2y + \frac{2}{3} = 1 \] \[ x – 2y = \frac{1}{3} \implies x = 2y + \frac{1}{3} \] Hi ha infinites solucions: \(x = 2y + \frac{1}{3}\), \(z = \frac{2}{3}\), amb \(y\) lliure.

Resum de la discussió:

• Si \(a = 2\), el sistema no té solució.

• Si \(a = -1\), el sistema té infinites solucions: \(x = 2y + \frac{1}{3}\), \(z = \frac{2}{3}\), \(y\) lliure.

• Si \(a \neq 2\) i \(a \neq -1\), el sistema té una solució única: \[ y = 1 – a^2, \quad z = \frac{a^3 – 2a^2 + 5}{2 – a}, \quad x = 1 + (1 – a^2) – \frac{a^3 – 2a^2 + 5}{2 – a} \]

b) Resoldre el sistema per \(a = 0\). Substituint \(a = 0\):\[\begin{cases}x – 2y + z = 0 \\2x – 4y + 4z = 5 \\1x – 1y + 1z = 1\end{cases}\]De la discussió anterior, com \(a = 0 \neq 2, -1\), el sistema té una solució única. Utilitzem els resultats:

• \(y = 1 – 0^2 = 1\)- \(z = \frac{0^3 – 2(0)^2 + 5}{2 – 0} = \frac{5}{2}\)

• \(x = 1 + (1 – 0^2)

• \frac{0^3 – 2(0)^2 + 5}{2 – 0} = 1 + 1 – \frac{5}{2} = 2 – \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}\)

Solució: \(x = -\frac{1}{2}\), \(y = 1\), \(z = \frac{5}{2}\).