Problema d’ona harmònica en una corda

La funció d’una ona harmònica que es propaga transversalment per una corda és $$y(x,t) = (0.25 \, \text{m}) \sin(50x – 1000t + \pi)$$ on \( x \) s’expressa en metres i \( t \) en segons. a) Quina és la velocitat de propagació, la longitud d’ona i la freqüència? b) Quant val el desplaçament de la corda en un punt situat a 10 cm de l’origen de coordenades en l’instant \( t = 10 \, \text{ms} \)?

Donada la funció de l’ona \( y(x,t) = (0.25 \, \text{m}) \sin(50x – 1000t + \pi) \), analitzem pas a pas:

a) Velocitat de propagació, longitud d’ona i freqüència. La forma general d’una ona harmònica és:\[ y(x,t) = A \sin(kx – \omega t + \phi) \]on:

• \( A = 0.25 \, \text{m} \) és l’amplitud,

• \( k = 50 \, \text{m}^{-1} \) és el nombre d’ona,

• \( \omega = 1000 \, \text{s}^{-1} \) és la freqüència angular,

• \( \phi = \pi \) és la fase inicial.

1. Velocitat de propagació (\( v \)): La velocitat de propagació es calcula com: \[ v = \frac{\omega}{k} \] Substituint: \[ v = \frac{1000 \, \text{s}^{-1}}{50{m}^{-1}} = 20 \, \text{m/s} \]

2. Longitud d’ona (\( \lambda \)): El nombre d’ona està relacionat amb la longitud d’ona per: \[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \] Per tant: \[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{50} = \frac{\pi}{25} \approx 0.1257 \, \text{m} \]

3. Freqüència (\( f \)): La freqüència angular està relacionada amb la freqüència per: \[ \omega = 2\pi f \] Per tant: \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1000}{2\pi} \approx 159.15 \, \text{Hz} \]

Resposta a):

• Velocitat de propagació: \( 20 \, \text{m/s} \)

• Longitud d’ona: \( \approx 0.1257 \, \text{m} \)

• Freqüència: \( \approx 159.15 \, \text{Hz} \)

b) Desplaçament a \( x = 10 \, \text{cm} \) i \( t = 10 \, \text{ms} \). Primer, convertim les unitats:

• \( x = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} \)

• \( t = 10 \, \text{ms} = 0.01 \, \text{s} \).

Substituïm a la funció de l’ona:\[ y(x,t) = 0.25 \sin(50 \cdot 0.1 – 1000 \cdot 0.01 + \pi) \]Calculem l’argument del sinus:\[ 50 \cdot 0.1 = 5 \]\[ 1000 \cdot 0.01 = 10 \]\[ \text{Argument} = 5 – 10 + \pi = -5 + \pi \]Avaluem el sinus:\[ \sin(-5 + \pi) \]Com que \( \sin(a + \pi) = -\sin(a) \), tenim:\[ \sin(-5 + \pi) = \sin(\pi – 5) = -\sin(5) \]El valor de \( \sin(5) \) (amb 5 en radians) és aproximadament \( -0.9589 \). Per tant:\[ \sin(-5 + \pi) \approx -(-0.9589) = 0.9589 \]Ara calculem \( y \):\[ y = 0.25 \cdot 0.9589 \approx 0.2397 \, \text{m} \]

Resposta b):- Desplaçament: \( \approx 0.24 \, \text{m} \) (arrodonit a dues xifres decimals).

Resum final:

• a) Velocitat: \( 20 \, \text{m/s} \), longitud d’ona: \( \approx 0.1257 \, \text{m} \), freqüència: \( \approx 159.15 \, \text{Hz} \).

• b) Desplaçament: \( \approx 0.24 \, \text{m} \).

La gràfica del desplaçament de l’ona en funció del temps per al punt situat a 10 cm de l’origen.