Ona harmònica transversal en una corda: equació i velocitat transversal màxima

Una ona harmònica transversal de $4$ metres d’amplitud es propaga per una corda de dreta a esquerra amb una velocitat de $10$ metres per segon. Si la longitud d’ona és de $20$ metres: 1. Escriu l’equació de l’ona. 2. Calcula la velocitat transversal màxima en qualsevol punt de la corda.

Tenim una ona harmònica transversal que es propaga de dreta a esquerra. Ens donen:

• Amplitud: $A = 4 \, \text{m}$
• Velocitat de propagació: $v = 10 \, \text{m/s}$
• Longitud d’ona: $\lambda = 20 \, \text{m}$

1. Freqüència i pulsació. Sabem que:$$v = \lambda f \quad \Rightarrow \quad f = \frac{v}{\lambda} = \frac{10}{20} = 0{,}5 \, \text{Hz}$$$$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 0{,}5 = \pi \, \text{rad/s}$$$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \, \text{rad/m}$$

2. Equació d’ona. Com l’ona es propaga de dreta a esquerra, el signe del terme espacial és positiu:$$y(x,t) = A \sin(kx + \omega t)$$Substituint valors:$$\boxed{y(x,t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{10}x + \pi t\right)}$$

3. Velocitat transversal màxima. La velocitat transversal és la derivada de la posició respecte al temps:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A \omega \cos(kx + \omega t)$$La velocitat transversal màxima és:$$v_{y,\text{max}} = A \omega = 4 \cdot \pi = \boxed{4\pi \, \text{m/s} \approx 12{,}57 \, \text{m/s}}$$

Representació ona harmònica transversal.