Anàlisi d’una Ona Electromagnètica Harmònica Plana al Buit

Una ona electromagnètica harmònica, plana i linealment polaritzada de 50 MHz de freqüència es propaga pel buit segons el sentit positiu de l’eix x. Si el vector amplitud del camp elèctric és (3000 N/C)j, determineu: a) El període, la longitud d’ona i el número d’ona. b) El vector amplitud del camp magnètic. c) Les funcions d’ona dels camps elèctric i magnètic.

Dades:

• Freqüència: $f = 50 \, \text{MHz} = 5 \times 10^7 \, \text{Hz}$
• Es propaga en el sentit positiu de l’eix $x$
• Camp elèctric: $\vec{E}_0 = (3000 \, \text{N/C}) \, \hat{j}$
• La propagació és en el buit, per tant: $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$

a) Període, longitud d’ona i nombre d’ona:

• Període:$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5 \times 10^7} = 2 \times 10^{-8} \, \text{s}$$
• Longitud d’ona:$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^7} = 6 \, \text{m}$$
• Nombre d’ona:$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \, \text{rad/m}$$

b) Vector amplitud del camp magnètic. En el buit, $E_0 = c B_0$, i el vector $\vec{B}_0$ és perpendicular tant a $\vec{E}_0$ com a la direcció de propagació ($\hat{i}$).

• Com $\vec{E}_0 \parallel \hat{j}$ i $\vec{k} \parallel \hat{i}$, el camp magnètic ha de ser en la direcció $\hat{k}$

• Intensitat:$$B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{3000}{3 \times 10^8} = 1 \times 10^{-5} \, \text{T}$$$$\vec{B}_0 = (1 \times 10^{-5} \, \text{T}) \, \hat{k}$$

c) Funcions d’ona dels camps $\vec{E}(x,t)$ i $\vec{B}(x,t)$. Sabem que una ona harmònica que es propaga en sentit positiu de l’eix $x$ té la forma:$$\vec{E}(x,t) = \vec{E}_0 \cos(kx – \omega t)\quad , \quad\vec{B}(x,t) = \vec{B}_0 \cos(kx – \omega t)$$

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 5 \cdot 10^7 = \boxed{10^8 \pi} \, \text{rad/s}$

Funcions d’ona:$$\boxed{\vec{E}(x,t) = 3000 \cos\left( \frac{\pi}{3}x – 10^8 \pi t \right) \, \hat{j}}$$$$\boxed{\vec{B}(x,t) = 1 \times 10^{-5} \cos\left( \frac{\pi}{3}x – 10^8 \pi t \right) \, \hat{k}}$$