Problema sistemes d’equacions. EBAU Cantabria 2020 Juny

Una botiga d’electrodomèstics ha venut 750 televisors de tres models diferents, A, B i C. Els ingressos totals obtinguts han estat de 230.400 euros. El preu de venda del model A era de 320 euros; el del model B, un 20% més barat que el A; i el del C, un 10% més car que el A. A més, dels models A i C se n’han venut, en total, el doble d’unitats que del B. a) Plantejar el sistema d’equacions que permet calcular quantes unitats s’han venut de cada model de televisor. b) Analitzar la compatibilitat d’aquest sistema. c) Resoldre’l.

A. Plantejar el sistema d’equacions. Primer, definim les variables:

– \( x \): nombre de televisors del model A venuts.

– \( y \): nombre de televisors del model B venuts.

– \( z \): nombre de televisors del model C venuts.

Condició 1: Total de televisors venuts. Sabem que s’han venut 750 televisors en total: \[x + y + z = 750 \tag{1}\]

Condició 2: Ingressos totals. Calculem els preus de cada model: – Preu del model A: 320 euros. – Preu del model B: un 20% més barat que el A, és a dir, \( 320 \times (1 – 0,2) = 320 \times 0,8 = 256 \) euros. – Preu del model C: un 10% més car que el A, és a dir, \( 320 \times (1 + 0,1) = 320 \times 1,1 = 352 \) euros.Els ingressos totals són 230.400 euros, per tant: \[320x + 256y + 352z = 230400 \tag{2}\]

Condició 3: Relació entre les unitats venudes. Se’ns diu que el total de televisors A i C venuts és el doble que els del model B: \[x + z = 2y \tag{3}\] Aquestes tres equacions formen el sistema: \[\begin{cases}x + y + z = 750 \\320x + 256y + 352z = 230400 \\x + z = 2y\end{cases}\]

B. Analitzar la compatibilitat del sistema. Per analitzar la compatibilitat, hem de determinar si el sistema té solució única, infinites solucions o cap solució. Com que tenim 3 equacions i 3 incògnites (\( x \), \( y \), \( z \)), el sistema pot ser compatible determinat (solució única) si la matriu dels coeficients té rang 3. Escrivim el sistema en forma matricial \( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \): \[A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\320 & 256 & 352 \\1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}, \quad\mathbf{b} = \begin{pmatrix}750 \\230400 \\2y\end{pmatrix}\] Notem que la tercera equació s’ha de reescriure com \( x – 2y + z = 0 \), per la qual cosa la matriu \( A \) queda: \[A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\320 & 256 & 352 \\1 & -2 & 1\end{pmatrix}, \quad\mathbf{b} = \begin{pmatrix}750 \\230400 \\0\end{pmatrix}\]Calculem el determinant de \( A \) per veure si el sistema és compatible determinat: \[\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}256 & 352 \\-2 & 1\end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix}320 & 352 \\1 & 1\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}320 & 256 \\1 & -2\end{vmatrix}\]- Primer determinant: \( 256 \cdot 1 – 352 \cdot (-2) = 256 + 704 = 960 \). – Segon determinant: \( 320 \cdot 1 – 352 \cdot 1 = 320 – 352 = -32 \). – Tercer determinant: \( 320 \cdot (-2) – 256 \cdot 1 = -640 – 256 = -896 \).Llavors: \[\det(A) = 1 \cdot 960 – 1 \cdot (-32) + 1 \cdot (-896) = 960 + 32 – 896 = 96\]Com que \( \det(A) = 96 \neq 0 \), el rang de la matriu \( A \) és 3, igual al nombre d’incògnites. Per tant, el sistema és compatible determinat i té una solució única.

C. Resoldre el sistema. Utilitzarem el mètode de substitució per resoldre el sistema: \[\begin{cases}x + y + z = 750 \\ 320x + 256y + 352z = 230400 \\ x + z = 2y\end{cases}\] De la tercera equació (\( x + z = 2y \)), aïllem \( x \): \[x = 2y – z \tag{4}\]Substituíim \( x = 2y – z \) a les equacions (1) i (2): – A l’equació (1): \[(2y – z) + y + z = 750 \implies 3y = 750 \implies y = 250\]- Substituíim \( y = 250 \) a l’equació (4): \[x + z = 2 \cdot 250 \implies x + z = 500 \tag{5}\]Ara substituïm \( y = 250 \) a l’equació (2): \[320x + 256 \cdot 250 + 352z = 230400\] \[320x + 64000 + 352z = 230400\] \[320x + 352z = 166400 \tag{6}\]Dividim l’equació (6) entre 32 per simplificar: \[10x + 11z = 5200 \tag{7}\] Ara tenim un sistema amb dues equacions i dues incògnites: \[\begin{cases}x + z = 500 \\10x + 11z = 5200\end{cases}\]De l’equació (5), aïllem \( x \): \[x = 500 – z \tag{8}\]Substituíim \( x = 500 – z \) a l’equació (7): \[10(500 – z) + 11z = 5200\] \[5000 – 10z + 11z = 5200\] \[z = 200\]Substituíim \( z = 200 \) a l’equació (8): \[x = 500 – 200 = 300\]Ja tenim \( x = 300 \), \( y = 250 \), \( z = 200 \). Comprovem amb l’equació (1): \[300 + 250 + 200 = 750 \quad \text{(correcte)}\]I amb l’equació (2): \[320 \cdot 300 + 256 \cdot 250 + 352 \cdot 200 = 96000 + 64000 + 70400 = 230400 \quad \text{(correcte)}\]

Resposta final

-A. El sistema d’equacions és: \[\begin{cases}x + y + z = 750 \\320x + 256y + 352z = 230400 \\x + z = 2y\end{cases}\]

– B. El sistema és compatible determinat (solució única), ja que el determinant de la matriu dels coeficients és diferent de zero (\( \det(A) = 96 \)).

– C. S’han venut:

– 300 televisors del model A.

– 250 televisors del model B.

– 200 televisors del model C.