Problema de bitllets al caixer

Un caixer conté $1330$ € en bitllets de $10$ €, de $20$ € i de $50$ €. Hi ha un total de $97$ bitllets, i el nombre de bitllets de $10$ € és el doble que el nombre de bitllets de $20$ €. Plantejau un sistema d’equacions per saber quants de bitllets hi ha de cada tipus. Resoleu aquest sistema i digau quants de bitllets hi ha de cada tipus.

Plantejament del sistema d’equacions

Definim les variables:

• $x$: nombre de bitllets de $10$ €.
• $y$: nombre de bitllets de $20$ €.
• $z$: nombre de bitllets de $50$ €.

A partir de les dades del problema, construïm les equacions:

1. Suma total dels bitllets: El caixer conté $1330$ € en bitllets de $10$ €, $20$ € i $50$ €. Això es tradueix en:
   $$10x + 20y + 50z = 1330$$
   Dividint l’equació per $10$ per simplificar:
   $$x + 2y + 5z = 133$$
2. Nombre total de bitllets: Hi ha un total de 97 bitllets:
   $$x + y + z = 97$$
3. Relació entre bitllets de 10 € i 20 €: El nombre de bitllets de 10 € és el doble que el nombre de bitllets de 20 €:
   $$x = 2y$$

Aquestes tres equacions formen el sistema:
$$\begin{cases}
x + 2y + 5z = 133 \\
x + y + z = 97 \\
x = 2y
\end{cases}$$

Resolució del sistema d’equacions (2 punts)

Substituïm la tercera equació ($x = 2y$) a les altres dues per reduir el nombre de variables.

1. Substituïm $x = 2y$ a la segona equació ($x + y + z = 97$):
   $$2y + y + z = 97$$
   $$3y + z = 97 \quad (1)$$
2. Substituïm $x = 2y$ a la primera equació ($x + 2y + 5z = 133$):
   $$2y + 2y + 5z = 133$$
   $$4y + 5z = 133 \quad (2)$$

Ara tenim un sistema amb dues equacions i dues incògnites ($y$ i $z$):
$$\begin{cases}
3y + z = 97 \quad (1) \\
4y + 5z = 133 \quad (2)
\end{cases}$$

Per resoldre aquest sistema, aïllem $z$ de l’equació (1):
$$z = 97 – 3y$$

Substituïm $z = 97 – 3y$ a l’equació (2):
$$4y + 5(97 – 3y) = 133$$
$$4y + 485 – 15y = 133$$
$$-11y + 485 = 133$$
$$-11y = 133 – 485$$
$$-11y = -352$$
$$y = \frac{352}{11} = 32$$

Ara que tenim $y = 32$, calculem $z$ usant $z = 97 – 3y$:
$$z = 97 – 3 \cdot 32 = 97 – 96 = 1$$

Finalment, calculem $x$ usant $x = 2y$:
$$x = 2 \cdot 32 = 64$$

Per tant, hi ha:

• $x = 64$ bitllets de $10$ €,
• $y = 32$ bitllets de $20$ €,
• $z = 1$ bitllet de $50$ €.

Resposta final

Hi ha:

• $64$ bitllets de $10$ €,
• $32$ bitllets de $20$ €,
• $1$ bitllet de $50$ €.