Sistema d’equacions per Gauss

Donat el següent sistema:$$\left\{\begin{array}{ccc} 5x+4y-6z=11\\ -5x+4z-3=-18 \\ 4z+4y=-4 \end{array}\right.$$

a) Escriu la matriu dels coeficients, la matriu ampliada, la de les incògnites i la dels termes independents. Expressa el sistema en forma matricial.

b) Resol el sistema. A la vista de les solucions, de quin tipus és el sistema?

Donat el següent sistema:

$$\left\{
\begin{array}{ccc}
5x + 4y – 6z = 11 \\
-5x + 4z – 3 = -18 \\
4y + 4z = -4 \\
\end{array}
\right.$$

Apartat a) Matrius

1. Matriz dels coeficients: aquesta matriu conté els coeficients de les incògnites $x$, $y$ i $z$.

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & -6 \\ -5 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}$$

2. Matriz ampliada: és la matriu dels coeficients amb la columna dels termes independents afegida al final.

$$A’ = \begin{pmatrix} 5 & 4 & -6 & | & 11 \\ -5 & 0 & 4 & | & -15 \\ 0 & 4 & 4 & | & -4 \end{pmatrix}$$

3. Matriz de les incògnites: és una matriu columna que conté les incògnites $x$, $y$ i $z$.

$$X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

4. Matriz dels termes independents: és una matriu columna que conté els termes independents del sistema.

$$B = \begin{pmatrix} 11 \\ -15 \\ -4 \end{pmatrix}$$

Expressió matricial del sistema

Podem expressar el sistema en forma matricial com:

$$A \cdot X = B$$

o

$$\begin{pmatrix} 5 & 4 & -6 \\ -5 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -15 \\ -4 \end{pmatrix}$$

Apartat b) Resolució del sistema

Resoldrem el sistema mitjançant el mètode de Gauss, que consisteix a escalonar la matriu ampliada fi\ns a obtenir una matriu triangular superior, per tal d’aconseguir les solucions de les incògnites $x$, $y$ i $z$.

Recordem el sistema original:

$$\left\{
\begin{array}{ccc}
5x + 4y – 6z = 11 \\
-5x + 4z = -15 \\
4y + 4z = -4 \\
\end{array}
\right.$$

Pas 1: Matriu ampliada inicial

La matriu ampliada $A’$ és:

$$A’ = \begin{pmatrix} 5 & 4 & -6 & | & 11 \\ -5 & 0 & 4 & | & -15 \\ 0 & 4 & 4 & | & -4 \end{pmatrix}$$

Pas 2: Escalonament

1. Fila 1 i Fila 2:** Eliminem el coeficient de ( x ) a la Fila 2** sumant la Fila 1 a la Fila 2, de manera que $-5 + 5 = 0$.

• $F_2 \rightarrow F_2 + F_1$

$$A’ = \begin{pmatrix} 5 & 4 & -6 & | & 11 \\ 0 & 4 & -2 & | & -4 \\ 0 & 4 & 4 & | & -4 \end{pmatrix}$$

2. Fila 2 i Fila 3: Eliminem el coeficient de $y$ a la Fila 3 restant la Fila 2 de la Fila 3.

• $F_3 \rightarrow F_3 – F_2$

$$A’ = \begin{pmatrix} 5 & 4 & -6 & | & 11 \\ 0 & 4 & -2 & | & -4 \\ 0 & 0 & 6 & | & 0 \end{pmatrix}$$

Pas 3: Solució amb substitució cap enrere

Ara tenim una matriu triangular superior, així que podem resoldre el sistema començant per la tercera fila:

1. Tercera fila: $6z = 0 \Rightarrow z = 0$
2. Segona fila: $4y – 2z = -4$ Substituint $z = 0$: $$4y = -4 \Rightarrow y = -1$$
3. Primera fila: $5x + 4y – 6z = 11$ Substituint $y = -1$ i $z = 0$: $$5x + 4(-1) = 11 \Rightarrow 5x – 4 = 11 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$$

Solució

El sistema té una solució única:

$$x = 3, \quad y = -1, \quad z = 0$$

Tipus de sistema

Aquest és un sistema compatible determinat, ja que té una única solució.