Problema sistemes d’equacions. Pollastres, ànecs i perdius

En una granja es venen pollastres, ànecs i perdius a raó de $9$ €/kg, $7,2$ €/kg i $15$ €/kg, respectivament. En una setmana, els ingressos totals van ser de $5640$ €. Sabem que la quantitat de pollastres venuts va superar en $100$ kg la d’ànecs i que es va vendre la meitat de perdius que d’ànecs. Quina quantitat de cada tipus de carn es va vendre?

---

Per resoldre aquest problema, primer hem de plantejar el sistema d’equacions que descriu la situació.

Anomenem:

• $x$ la quantitat de pollastres venuts (en kg),
• $y$ la quantitat d’ànecs venuts (en kg),
• $z$ la quantitat de perdius venudes (en kg).

Condicions del problema:

1. Els ingressos totals de la granja van ser de $5640$ €, i els preus de cada tipus de carn són:

• Pollastres: 9 €/kg,
• Ànecs: 7,2 €/kg,
• Perdius: 15 €/kg. Així, l’equació per als ingressos totals serà: $$9x + 7.2y + 15z = 5640$$

1. La quantitat de pollastres venuts va superar en $100$ kg la d’ànecs: $$x = y + 100$$
2. Es va vendre la meitat de perdius que d’ànecs: $$z = \frac{y}{2}$$

Sistema d’equacions:

Amb les condicions anteriors, el sistema d’equacions és el següent:

$$\begin{cases}
9x + 7.2y + 15z = 5640 \\
x = y + 100 \\
z = \frac{y}{2}
\end{cases}$$

Per escriure la matriu associada al sistema d’equacions, primer hem de reordenar el sistema d’equacions per a tenir-ho tot en una forma matricial. Recordem el sistema d’equacions:

$$\begin{cases}
9x + 7.2y + 15z = 5640 \\
x = y + 100 \\
z = \frac{y}{2}
\end{cases}$$

Passos per convertir-ho en forma matricial:

1. L’equació (2) es pot escriure com $x – y = 100$, que és equivalent a:

$$x – y + 0z = 100$$

2. L’equació (3) es pot escriure com $y – 2z = 0$, que és equivalent a:

$$y – 2z = 0$$

Ara, reescrivim el sistema d’equacions de manera que totes les variables apareguin a l’esquerra de l’igual, i els termes constants a la dreta:

$$\begin{cases}
9x + 7.2y + 15z = 5640 \\
x – y = 100 \\
y – 2z = 0
\end{cases}$$

Matriu associada al sistema:

La matriu associada es pot escriure com:

$$A = \begin{pmatrix}
9 & 7.2 & 15 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}$$

I el vector columna de les incògnites ($x, y, z$) i el vector columna de les constants ($5640, 100, 0$) seran:

$$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5640 \\ 100 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Així, el sistema en forma matricial és:

$$A \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

On:

$$A = \begin{pmatrix}
9 & 7.2 & 15 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5640 \ 100 \ 0 \end{pmatrix}$$

Aquesta és la matriu associada al sistema d’equacions.

---

Anem a resoldre el sistema d’equacions mitjançant el mètode de Cramer, calculant els determinants i obtinguent els valors de $x$, $y$ i $z$.

Sistema d’equacions

El sistema d’equacions és:

$$\begin{cases}
9x + 7.2y + 15z = 5640 \\
x – y = 100 \\
y – 2z = 0
\end{cases}$$

Matriu associada $A$ i vector constant $\mathbf{b}$

La matriu associada $A$ és:

$$A = \begin{pmatrix}
9 & 7.2 & 15 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}$$

El vector constant $\mathbf{b}$ és:

$$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5640 \ 100 \ 0 \end{pmatrix}$$

1. Determinant de la matriu $A$ ($\Delta$)

Calcularem el determinant de la matriu $A$:

$$\Delta = \begin{vmatrix}
9 & 7.2 & 15 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{vmatrix}$$

El determinant és:

$$\Delta = 9 \begin{vmatrix}
-1 & 0 \\
1 & -2
\end{vmatrix} – 7.2 \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & -2
\end{vmatrix} + 15 \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = 9\cdot2-7.2\cdot-2+15\cdot1 = 47.4$$

2. Determinant de $A_x$ ($\Delta_x$)

Substituïm la primera columna de $A$ pel vector $\mathbf{b}$:

$$A_x = \begin{pmatrix}
5640 & 7.2 & 15 \\
100 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_x$ és:

$$\Delta_x = 5640 \begin{vmatrix}
-1 & 0 \\
1 & -2
\end{vmatrix} – 7.2 \begin{vmatrix}
100 & 0 \\
0 & -2
\end{vmatrix} + 15 \begin{vmatrix}
100 & -1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = 5640\cdot2-7.2\cdot(-200)+15\cdot100 = 11280 + 1440 + 1500 = 14220$$

3. Determinant de $A_y$ ($\Delta_y$)

Substituïm la segona columna de $A$ pel vector $\mathbf{b}$:

$$A_y = \begin{pmatrix}
9 & 5640 & 15 \\
1 & 100 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_y$ és:

$$\Delta_y = 9 \begin{vmatrix}
100 & 0 \\
0 & -2
\end{vmatrix} – 5640 \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & -2
\end{vmatrix} + 15 \begin{vmatrix}
1 & 100 \\
0 & 0
\end{vmatrix} = 9(-200) – 5640(-2) + 15(0) = -1800 + 11280 + 0 = 9480$$

4. Determinant de $A_z$ ($\Delta_z$)

Substituïm la tercera columna de $A$ pel vector $\mathbf{b}$:

$$A_z = \begin{pmatrix}
9 & 7.2 & 5640 \\
1 & -1 & 100 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$

El determinant de $A_z$ és:

$$\Delta_z = 9 \begin{vmatrix}
-1 & 100 \\
1 & 0
\end{vmatrix} – 7.2 \begin{vmatrix}
1 & 100 \\
0 & 0
\end{vmatrix} + 5640 \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} = 9(-100) – 7.2(0) + 5640(1) = -900 + 0 + 5640 = 4740 $$

5. Calcul de les incògnites

Finalment, les incògnites es calculen com:

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{14220}{47.4} = 300$$
$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{9480}{47.4} = 200$$
$$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{4740}{47.4} = 100$$

Solució final:

Per tant, la quantitat de carn venuda és:

• $x = 300$ kg de pollastres,
• $y = 200$ kg d’ànecs,
• $z = 100$ kg de perdius.